解法1：

可以把這個問題描述為一個二元組表示進棧出棧的狀態,(n, 0) 表示有n個元素等待進棧, 0 個元素已進棧,
這相當於問題最初的狀況. 接著問題轉化為(n-1,1). 
可以這麼說(n,0) = (n-1,1). 而對於(n-1,1)則相當於(n-1,0)+(n-2,2).
其中(n-1,0)表示棧中的一個元素出棧, (n-2, 2)表示又有一個元素入棧.也就是說,對於(n-1,1),已經有1個進棧的情況,這時候有兩種可能：①把棧裡面的這個元素出掉,②繼續把一個元素進棧,這兩種選擇導致的序列是不同的,這個是理解的難點和關鍵點.
這樣我們得到了轉化公式,把問題一般化,則(n,m)的排列問題可以轉化為(n,m-1)+(n-1,m+1) 

這個問題屬於卡特蘭數（h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,...)）的應用，共有c(2n,n)-c(2n,n-1)=1/(n+1)*c(2n,n)中方式出棧。
對於每一個數來說，必須進棧一次、出棧一次。我們把進棧設為狀態‘1’，出棧設為狀態‘0’。n個數的所有狀態對應n個1和n個0組成的2n位二進位制數。由於等待入棧的運算元按照1‥n的順序排列、入棧的運算元b大於等於出棧的運算元a(a≤b)，因此輸出序列的總數目=由左而右掃描由n個1和n個0組成的2n位二進位制數，1的累計數不小於0的累計數的方案種數。
　　在2n位二進位制數中填入n個1的方案數為c(2n,n),不填1的其餘n位自動填0。從中減去不符合要求（由左而右掃描，0的累計數大於1的累計數）的方案數即為所求。
　　不符合要求的數的特徵是由左而右掃描時，必然在某一奇數位2m+1位上首先出現m+1個0的累計數和m個1的累計數，此後的2(n-m)-1位上有n-m個 1和n-m-1個0。如若把後面這2(n-m)-1位上的0和1互換，使之成為n-m個0和n-m-1個1，結果得1個由n+1個0和n-1個1組成的2n位數，即一個不合要求的數對應於一個由n+1個0和n-1個1組成的排列。
　　反過來，任何一個由n+1個0和n-1個1組成的2n位二進位制數，由於0的個數多2個，2n為偶數，故必在某一個奇數位上出現0的累計數超過1的累計數。同樣在後面部分0和1互換，使之成為由n個0和n個1組成的2n位數，即n+1個0和n-1個1組成的2n位數必對應一個不符合要求的數。
因而不合要求的2n位數與n+1個0，n－1個1組成的排列一一對應。 顯然，不符合要求的方案數為c(2n,n+1)。由此得出輸出序列的總數目=c(2n,n)-c(2n,n+1)=1/(n+1)*c(2n,n)。