組合意義非常顯然，經典的路徑問題。這裡主要討論母函式以及牛頓展開的證明。

考慮卡特蘭數的遞推式，發現這是一個卷積式
令 $f(x)$為卡特蘭數的生成函式
可以將遞推式表示為
$f$

( x ) = x ∗ f ( x )

2 + 1 f(x)=x*f(x)^2+1
解得
$f(x$

) = 1 ± 1 − 4 x 2 x f(x)=\frac{1\pm\sqrt{1-4x}}{2x}
$\pm$號怎麼取？
考慮 $x=0$的時候，取正號顯然不合法（卡特蘭數第一項）
故卡特蘭數的生成函式為
$f(x)=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}$
將 $\sqrt{1-4x}$用牛頓二項式展開
$(1-4x)^{\frac{1}{2}}=\sum_{k=0}^\infty{\frac{1}{2} \choose k}(-4x)^k$
考慮把 ${\frac{1}{2} \choose k}$展開
${\frac{1}{2} \choose k} = \frac{(\frac{1}{2})(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})...(\frac{3}{2}-k)}{k!}\\ =\frac{(-1)^{k}}{2^k*k!}\prod_{i=1}^k(2i-3)\\ \prod_{i=1}^k(2i-3)=(-1)*1*3*5*...*(2k-3)\\ =\frac{(-1)*(2k-2)!}{2*4*6*...(2k-2)} =\frac{(-1)*(2k-2)!}{2^{k-1}*(k-1)!}$
帶入原式，得到（這裡忽略了 $k=0$的邊界）
$1-\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k-1}(2k-2)!(-4x)^k}{2^{2k-1}*k!*(k-1)!}\\ =\sum_{k=1}^\infty \frac{2*(2k-2)!}{k!(k-1)!}x^k\\ =\sum_{k=1}^\infty\frac{2}{k}{2k-2 \choose k-1}x^k$