文章目錄

• 完全二叉樹節點個數
• 完全二叉樹
• 實現
• 遍歷
• 藉助完全二叉樹的特點
• 完全二叉樹的層數
• 原理
• 第一種情況
• 第二種情況
• 實現
• 時間複雜度
• 關於作者

完全二叉樹節點個數

最簡單的解法就是遍歷這棵樹，時間複雜度是O(N)，如果只是這一種解法，就不會有本文了。本文中給出兩種解法。

完全二叉樹

第一次看到完全二叉樹的定義比較懵，搜尋到的定義如下：

設二叉樹的深度為h，除第 h 層外，其它各層 (1～h-1) 的結點數都達到最大個數，第h層所有的結點都連續集中在最左邊，這就是完全二叉樹。

誰到不想看這個定義，比較簡單的理解就是和滿二叉樹相比較，看按層次遍歷的標號是否一致。具體方案不再闡述，網上都有。

實現

• 遍歷
• 藉助完全二叉樹的特點

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * type TreeNode struct {
 *     Val int
 *     Left *TreeNode
 *     Right *TreeNode
 * }
 */

遍歷

看一下遞迴的公式：

• 空樹：返回0
• 非空樹：遞迴的統計左右子樹的節點個數，返回左右子樹節點個數加1的和

func countNodes(root *TreeNode) int {
    if root == nil {
        return 0
    }
    
    sumL := countNodes(root.Left)
    sumR := countNodes(root.Right)
    
    return sumL+sumR+1
}

藉助完全二叉樹的特點

這個特點是什麼呢？完全二叉樹=滿二叉樹+完全二叉樹。完全二叉樹裡藏著一顆滿二叉樹和另外一顆完全二叉樹，最驚喜的是從公式裡看出子問題和原問題基本一致，可以使用遞迴啊。

完全二叉樹的層數

這種演算法的實現需要知道完全二叉樹的層數，難道又需要遍歷統計嗎，當然不需要了，還是藉助完全二叉樹的特點，可以根據完全二叉樹的最左節點和一個計數變數搞定，因為這個最左節點肯定是位於最後一層。

func height(root *TreeNode) int {
    h := 0
    
    for root != nil {
        h++
        root = root.Left
    }
    
    return h
}

原理

• h = height(root), hright = height(root.Right)
• 左子樹和右子樹其中有一顆是完全二叉樹，另一顆是滿二叉樹
• 區別左右子樹的種類根據h-hright
  • h-hright=1：
    • 左子樹：滿二叉樹
    • 右子樹：完全二叉樹
  • h-hright=2:
    • 左子樹：完全二叉樹
    • 右子樹：滿二叉樹
• 節點個數=1+左子樹節點個數+右子樹節點個數 = (1 << hright)+遞迴另一顆完全二叉樹(滿二叉樹 = 1 << hright)

第一種情況

第二種情況

實現

func countNodes(root *TreeNode) int {
    if root == nil {
        return 0
    }
    
    return nodeNums(root)
}

func nodeNums(root *TreeNode) int {
    h := height(root)
    hR := height(root.Right)
    
    //兩種情況滿二叉樹層數都是hR
    //不同在於遞迴左子樹還是右子樹
    nums := 1 << uint(hR)
    if hR+1 == h {
        return nums+countNodes(root.Right)
    }
    
    return nums+countNodes(root.Left)
}

func height(root *TreeNode) int {
    h := 0
    
    for root != nil {
        h++
        root = root.Left
    }
    
    return h
}

時間複雜度

對於每一個節點最多需要訪問深度個數的節點，所以最終時間複雜度是O(lg2*lg2)。

關於作者

大四學生一枚，分析資料結構，面試題，golang，C語言等知識。QQ交流群：521625004。微信公眾號：後臺技術棧。