上一節通過Floyd-Warshall演算法寫了多源節點最短路徑問題：

這一節來學習指定一個點（源點）到其餘各個頂點的最短路徑。也叫做“單源最短路徑”Dijkstra。

例如求下圖中1號頂點到2、3、4、5、6號頂點的最短路徑。

用二維陣列e儲存頂點之間邊的關係，初始值如下：

用一個一維陣列dis來儲存1號頂點到其餘各個頂點的初始路程，

此時dis陣列中的值稱為最短路程的“估計值”。

先找一個離1號頂點最近的頂點，是2號頂點，當選擇了2號頂點後，dis[2]的值就已經 從“估計值”變為了“確定值”。接下來看2號頂點的出邊，有2-3和2-4兩條邊。先討論通過2-3能否讓1-3號的路程變短，也就是比較dis[3]和dis[2]+e[2][3]的大小。2-4同理。

我們對2號頂點所有出邊進行了鬆弛，完畢後dis陣列為：

接下來，繼續在剩下的3、4、5、6頂點中，選注離1號最近的頂點，是4號，4號的所有出邊4-3、4-5、4-6鬆弛：

。。。

Dijkstra的主要思想：每次找到離源點最近的一個頂點，然後以該頂點為中心進行擴充套件，最終得到源點到其餘所有點的最短路徑。

步驟：

輸入資料：

執行結果：

這個時間複雜度是O(N^2)。

其中每次找到離1號頂點最近的頂點的時間複雜度是O(N)，這裡可以用“堆”來優化使降低到O(logN)，

另外對於邊數M少於N^2的稀疏圖來說（M<<N^2的圖稱為稀疏圖，而M較大的圖稱為稠密圖

在最壞的情況下M就是N^2,這樣的話(M+N)logN要比N^2還要大，但是大多數情況下並不會有那麼多邊，因此(M+N)logN要比N^2小很多。

DijkStra基於貪心策略的演算法。

對於不含負權邊的圖求單源最短路徑，Dijkstra演算法是最高效的。但是在含負權邊的圖中，Dijkstra很可能得不到正確的結果，因為Dijkstra每次選的是當前能連到的邊中權值最小的，在正權圖中這種貪心是對的，但是在負權圖中就不是這樣了。比如1——>2權值為5，1——>3權值為6，3——>2權值為-2，求1到2的最短路徑時，Dijkstra就會選擇權為5的1——>2，但實際上1——>3——>2才是最優的結果。

另外如果包含負環，則意味著最短路徑不存在。因為只要在負權迴路上不斷兜圈子，所得的最短路長度可以任意小。

原因：

Dijkstra演算法當中將節點分為已求得最短路徑的集合（記為P）和未確定最短路徑的集合（記為Q），歸入P集合的節點的最短路徑及其長度不再變更，如果邊上的權值允許為負值，那麼有可能出現當與P內某點（記為a）以負邊相連的點（記為b）確定其最短路徑時，它的最短路徑長度加上這條負邊的權值結果小於a原先確定的最短路徑長度，而此時a在Dijkstra演算法下是無法更新的，由此便可能得不到正確的結果。