時間；2014.05.19

地點：圖書館

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一、簡述

  前面給出了一種斐波那契數列解法的矩陣冪方法，這是最高效的方法，時間複雜度為O(log)。正常來說通過遞推公式 F(n)=F(n-1)+F(n-2)直接來計算F(n)效率是很差的，因為這裡會涉及很多冗餘計算，比如求F（5），我們要求【F(4)和F（3）】，【要求F(4)則得求F(3)和F（2）,要求F（3）得求F（2）和F（1)】...等等，於是這裡有好多數都設計要求重複計算，可以通過一顆二叉樹來展開，所以這樣的遞迴雖然使大問題化解為子問題了，但子問題的個數迅速膨脹而且還包含了重複的子問題。

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二、不同一般的遞迴

  首先關係依舊，即 F(n)=F(n-1)+F(n-2)，F(0)=0，F（1）=1,，有序列如下，假如我們要求F(6).

t0t1t2t3 t4t5t6t7t8...                                             本序列以0 和1開始，求的是F(6)

0112 3581321..

t0t1t2t3 t4t5t6t7....                                                    本序列以1和1開始，上面的F(6)對應現在的F(5)

1123 581321...

....

....

以此規則繼續往下面走，我們甚至可以假設一個滑動視窗，該視窗最初佔據起始序列的兩個值，然後每遞迴以此，向後滑動一個距離，當然離要求的目標也就靠近一次，最終即滑動視窗會佔據要求的值，而我們知道，每次滑動視窗移動佔據的值是很容易求得。如此，通過滑動視窗可以一步步縮減問題規模，在這裡表現為F(n)中的n會一步步減小。通過這種遞迴的方式可以有效減少冗餘計算，很明顯，中間碰到的每個值都值被計算了一次。

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三、實現

#include<iostream>
int AdditiveSequence(int n, int t0, int t1)
{
	if (n == 0)
		return t0;
	if (n == 1)
		return t1;
	return AdditiveSequence(n - 1, t1, t0 + t1);
}
int Fibonacci(int n)
{
	return AdditiveSequence(n, 0, 1);
}
int main()
{
	int n;
	std::cin >> n;
	std::cout << Fibonacci(n) << std::endl;
	return 0;
}