一：平衡二叉樹的概念

平衡二叉樹(Balanced binary tree)又稱為AVL樹，是一種特殊的二叉排序樹，且左右子樹的高度之差的絕對值不超過1.

定義：平衡二叉樹或為空樹,或為如下性質的二叉排序樹:

（1）左右子樹深度之差的絕對值不超過1;

（2）左右子樹仍然為平衡二叉樹.

平衡因子BF=左子樹深度－右子樹深度.

平衡二叉樹每個結點的平衡因子只能是1，0，-1。若其絕對值超過1，則該二叉排序樹就是不平衡的。

二、平衡二叉樹調整

　　若向平衡二叉樹中插入一個新結點後破壞了平衡二叉樹的平衡性。首先要找出插入新結點後失去平衡的最小子樹，然後再調整這個子樹，使之成為新的平衡子樹。當失去平衡的最小子樹被調整為平衡子樹後，無需調整原有其他所有不平衡子樹

　　失去平衡的最小子樹是指以離插入結點最近，且平衡因子絕對值大於1的結點作為根的子樹。假設用A表示失去平衡的最小子樹的根結點，則調整該子樹的操作可歸納為下列四種情況。

（1）LL型平衡旋轉法

　　由於在A的左孩子B的左子樹上插入結點F，使A的平衡因子由1增至2而失去平衡。故需進行一次順時針旋轉操作。即將A的左孩子B向右上旋轉代替A作為根結點，A向右下旋轉成為B的右子樹的根結點。而原來B的右子樹則變成A的左子樹。

（2）RR型平衡旋轉法

　　由於在A的右孩子C 的右子樹上插入結點F，使A的平衡因子由-1減至-2而失去平衡。故需進行一次逆時針旋轉

（3）LR型平衡旋轉法

　　由於在A的左孩子B的右子數上插入結點F，使A的平衡因子由1增至2而失去平衡。故需進行兩次旋轉操作（先逆時針，後順時針）。即先將A結點的左孩子B的右子樹的根結點D向左上旋轉提升到B結點的位置，然後再把該D結點向右上旋轉提升到A結點的位置。即先使之成為LL型，再按LL型處理。

如圖中所示，即先將圓圈部分先調整為平衡樹，然後將其以根結點接到A的左子樹上，此時成為LL型，再按LL型處理成平衡型。

（4）RL型平衡旋轉法

　　由於在A的右孩子C的左子樹上插入結點F，使A的平衡因子由-1減至-2而失去平衡。故需進行兩次旋轉操作（先順時針，後逆時針），即先將A結點的右孩子C的左子樹的根結點D向右上旋轉提升到C結點的位置，然後再把該D結點向左上旋轉提升到A結點的位置。即先使之成為RR型，再按RR型處理。

如圖中所示，即先將圓圈部分先調整為平衡樹，然後將其以根結點接到A的左子樹上，此時成為RR型，再按RR型處理成平衡型。

方便記憶：LR、RL以<---方向 L為順時針，R為逆時針旋轉