最大子矩陣和問題是對最大子序列和問題的擴充套件，即從一維擴充套件到了二維。但是解決此問題的方法和原來的方法並沒有太大的差別，這裡就以同樣的動態規劃的實錄思路來求解此問題。原來subSum[i]代表包含ai並且以ai結束的子序列的最大和，狀態轉移方程為subSum[i+1] = subSum[i]<0 ? 0 ： subSum[i]+a[i+1]，因為subSum[i]為負將對總和做負貢獻，所以此時將其丟棄。而現在，序列已經變成了矩陣，subSum[i]也不能再表示原來的意義了，需要將其擴充套件為二維，subSum[k]表示包含第k行第i至j列元素並且以其結尾的子矩陣的最大和，定義sum[i,j]表示表示第k行第i至j列元素和，那麼同樣的有轉移方程subSum[k+1] = subSum[k]<0 ? 0 ： subSum[k]+sum[i,j]，最後的問題就是如何計算sum[i,j]，因為已經有三層迴圈列舉i、j、k了，如果這裡再用迴圈計算，複雜度將會增加，所以可以在輸入資料的時候將sum[i,j]處理成第i行前j列的和，所以原來轉移方程中的sun[i,j]就可以直接寫成sum[k,j]-sum[k,i-1]，不用再迴圈計算了。實現程式碼如下：

#define MAX 105
// 第i行前j個元素和
int sum[MAX][MAX];
// 矩陣的行列數
int n;
// 返回最大子矩陣和，並且儲存該子矩陣的起始元素和結束元素的行列值
int MaxSubMatSum(int &sX, int &sY, int &eX, int &eY)
{
    int ans=1e-6;
    // 列舉第k行，第i列至j列的和
    for(int i=1; i<=n; ++i)
    {
        for(int j=i; j<=n; ++j)
        {
            int subSum = 0;
            for(int k=1; k<=n; ++k)
            {
                // 動態規劃思想，subSum<0將會減少總和，所以此時將其置0
                if(subSum < 0)
                {
                    subSum = 0;
                    sX = k;
                    sY = i;
                }
                subSum += sum[k][j] - sum[k][i-1];
                if(ans < subSum)
                {
                    ans = subSum;
                    eX = k;
                    eY = j;
                }
            }
        }
    }
    return ans;
}
 

以一道題為例，應用上述演算法，HDOJ：1081，時空轉移（點選開啟連結），題目如下：

To The Max

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others)
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Problem Description Given a two-dimensional array of positive and negative integers, a sub-rectangle is any contiguous sub-array of size 1 x 1 or greater located within the whole array. The sum of a rectangle is the sum of all the elements in that rectangle. In this problem the sub-rectangle with the largest sum is referred to as the maximal sub-rectangle.

As an example, the maximal sub-rectangle of the array:

0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2

is in the lower left corner:

9 2
-4 1
-1 8

and has a sum of 15.

Input The input consists of an N x N array of integers. The input begins with a single positive integer N on a line by itself, indicating the size of the square two-dimensional array. This is followed by N 2 integers separated by whitespace (spaces and newlines). These are the N 2 integers of the array, presented in row-major order. That is, all numbers in the first row, left to right, then all numbers in the second row, left to right, etc. N may be as large as 100. The numbers in the array will be in the range [-127,127].

Output Output the sum of the maximal sub-rectangle.

Sample Input 4 0 -2 -7 0 9 2 -6 2 -4 1 -4 1 -1 8 0 -2
Sample Output 15 題意：

給出一個n*n的矩陣，找出其最大子矩陣和，只需要輸出和即可。

分析：

典型的計算最大子矩陣和的題目，如前面分析求解即可。但是不需要輸出子矩陣本身，所以可以對前面的演算法簡化，直接寫入主程式即可。

原始碼：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;
#define MAX 105
// 第i行前j個元素和
int sum[MAX][MAX];

int main()
{//freopen("sample.txt", "r", stdin);
    int n;
    while(~scanf("%d", &n))
    {
        int data, ans=1e-6;
        memset(sum, 0, sizeof(sum));
        for(int i=1; i<=n; ++i)
        {
            for(int j=1; j<=n; ++j)
            {
                scanf("%d", &data);
                // 累加第i行前j個元素和
                sum[i][j] += sum[i][j-1] + data;
            }
        }
        // 列舉第k行，第i列至j列的和
        for(int i=1; i<=n; ++i)
        {
            for(int j=i; j<=n; ++j)
            {
                int subSum = 0;
                for(int k=1; k<=n; ++k)
                {
                    // 動態規劃思想，subSum<0將會減少總和，所以此時將其置0
                    if(subSum < 0) subSum = 0;
                    subSum += sum[k][j] - sum[k][i-1];
                    ans = max(ans, subSum);
                }
            }
        }
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}