傅立葉變換是數字訊號處理領域一種很重要的演算法。要知道傅立葉變換演算法的意義，首先要了解傅立葉原理的意義。傅立葉原理表明：任何連續測量的時序或訊號，都可以表示為不同頻率的正弦波訊號的無限疊加。而根據該原理創立的傅立葉變換演算法利用直接測量到的原始訊號，以累加方式來計算該訊號中不同正弦波訊號的頻率、振幅和相位。

和傅立葉變換演算法對應的是反傅立葉變換演算法。該反變換從本質上說也是一種累加處理，這樣就可以將單獨改變的正弦波訊號轉換成一個訊號。

因此，可以說，傅立葉變換將原來難以處理的時域訊號轉換成了易於分析的頻域訊號（訊號的頻譜），可以利用一些工具對這些頻域訊號進行處理、加工。最後還可以利用傅立葉反變換將這些頻域訊號轉換成時域訊號。

從現代數學的眼光來看，傅立葉變換是一種特殊的積分變換。它能將滿足一定條件的某個函式表示成正弦基函式的線性組合或者積分。在不同的研究領域，傅立葉變換具有多種不同的變體形式，如連續傅立葉變換和離散傅立葉變換。

在數學領域，儘管最初傅立葉分析是作為熱過程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的還原論和分析主義的特徵。"任意"的函式通過一定的分解，都能夠表示為正弦函式的線性組合的形式，而正弦函式在物理上是被充分研究而相對簡單的函式類：1. 傅立葉變換是線性運算元,若賦予適當的範數,它還是酉運算元;2. 傅立葉變換的逆變換容易求出,而且形式與正變換非常類似;3. 正弦基函式是微分運算的本徵函式,從而使得線性微分方程的求解可以轉化為常係數的代數方程的求解.線上性時不變雜的卷積運算為簡單的乘積運算,從而提供了計算卷積的一種簡單手段;5. 離散形式的傅立葉的物理系統內,頻率是個不變的性質,從而系統對於複雜激勵的響應可以通過組合其對不同頻率正弦訊號的響應來獲取;４. 著名的卷積定理指出:傅立葉變換可以化復變換可以利用數字計算機快速的算出(其演算法稱為快速傅立葉變換演算法(FFT))。

正是由於上述的良好性質,傅立葉變換在物理學、數論、組合數學、訊號處理、概率、統計、密碼學、聲學、光學等領域都有著廣泛的應用。

2、影象傅立葉變換的物理意義

影象的頻率是表徵影象中灰度變化劇烈程度的指標，是灰度在平面空間上的梯度。如：大面積的沙漠在影象中是一片灰度變化緩慢的區域，對應的頻率值很低；而對於地表屬性變換劇烈的邊緣區域在影象中是一片灰度變化劇烈的區域，對應的頻率值較高。傅立葉變換在實際中有非常明顯的物理意義，設f是一個能量有限的模擬訊號，則其傅立葉變換就表示f的譜。從純粹的數學意義上看，傅立葉變換是將一個函式轉換為一系列周期函式來處理的。從物理效果看，傅立葉變換是將影象從空間域轉換到頻率域，其逆變換是將影象從頻率域轉換到空間域。換句話說，傅立葉變換的物理意義是將影象的灰度分佈函式變換為影象的頻率分佈函式，傅立葉逆變換是將影象的頻率分佈函式變換為灰度分佈函式

傅立葉變換以前，影象（未壓縮的點陣圖）是由對在連續空間（現實空間）上的取樣得到一系列點的集合，我們習慣用一個二維矩陣表示空間上各點，則影象可由z=f(x,y)來表示。由於空間是三維的，影象是二維的，因此空間中物體在另一個維度上的關係就由梯度來表示，這樣我們可以通過觀察影象得知物體在三維空間中的對應關係。為什麼要提梯度？因為實際上對影象進行二維傅立葉變換得到頻譜圖，就是影象梯度的分佈圖，當然頻譜圖上的各點與影象上各點並不存在一一對應的關係，即使在不移頻的情況下也是沒有。傅立葉頻譜圖上我們看到的明暗不一的亮點，實際上影象上某一點與鄰域點差異的強弱，即梯度的大小，也即該點的頻率的大小（可以這麼理解，影象中的低頻部分指低梯度的點，高頻部分相反）。一般來講，梯度大則該點的亮度強，否則該點亮度弱。這樣通過觀察傅立葉變換後的頻譜圖，也叫功率圖，我們首先就可以看出，影象的能量分佈，如果頻譜圖中暗的點數更多，那麼實際影象是比較柔和的（因為各點與鄰域差異都不大，梯度相對較小），反之，如果頻譜圖中亮的點數多，那麼實際影象一定是尖銳的，邊界分明且邊界兩邊畫素差異較大的。對頻譜移頻到原點以後，可以看出影象的頻率分佈是以原點為圓心，對稱分佈的。將頻譜移頻到圓心除了可以清晰地看出影象頻率分佈以外，還有一個好處，它可以分離出有周期性規律的干擾訊號，比如正弦干擾，一副帶有正弦干擾，移頻到原點的頻譜圖上可以看出除了中心以外還存在以某一點為中心，對稱分佈的亮點集合，這個集合就是干擾噪音產生的，這時可以很直觀的通過在該位置放置帶阻濾波器消除干擾

快速傅氏變換 英文名是fast Fourier transform

快速傅氏變換（FFT）是離散傅氏變換(DFT)的快速演算法，它是根據離散傅氏變換的奇、偶、虛、實等特性，對離散傅立葉變換的演算法進行改進獲得的。它對傅氏變換的理論並沒有新的發現，但是對於在計算機系統或者說數字系統中應用離散傅立葉變換，可以說是進了一大步。

設x(n)為N項的複數序列，由DFT變換，任一X（m）的計算都需要N次複數乘法和N-1次複數加法，而一次複數乘法等於四次實數乘法和兩次實數加法，一次複數加法等於兩次實數加法，即使把一次複數乘法和一次複數加法定義成一次“運算”（四次實數乘法和四次實數加法），那麼求出N項複數序列的X（m）,即N點DFT變換大約就需要N2次運算。當N=1024點甚至更多的時候，需要N2=1048576次運算，在FFT中，利用WN的週期性和對稱性，把一個N項序列（設N=2k,k為正整數），分為兩個N/2項的子序列，每個N/2點DFT變換需要（N/2）2次運算，再用N次運算把兩個N/2點的DFT變換組合成一個N點的DFT變換。這樣變換以後，總的運算次數就變成N+2（N/2）2=N+N2/2。繼續上面的例子，N=1024時，總的運算次數就變成了525312次，節省了大約50%的運算量。而如果我們將這種“一分為二”的思想不斷進行下去，直到分成兩兩一組的DFT運算單元，那麼N點的DFT變換就只需要Nlog2N次的運算，N在1024點時，運算量僅有10240次，是先前的直接演算法的1%，點數越多，運算量的節約就越大，這就是FFT的優越性。

小波分析 (Wavelet)

小波分析是當前數學中一個迅速發展的新領域，它同時具有理論深刻和應用十分廣泛的雙重意義。

小波變換的概念是由法國從事石油訊號處理的工程師J.Morlet在1974年首先提出的，通過物理的直觀和訊號處理的實際需要經驗的建立了反演公式，當時未能得到數學家的認可。正如1807年法國的熱學工程師J.B.J.Fourier提出任一函式都能展開成三角函式的無窮級數的創新概念未能得到著名數學家J.L.Lagrange，P.S.Laplace以及A.M.Legendre的認可一樣。幸運的是，早在七十年代，A.Calderon表示定理的發現、Hardy空間的原子分解和無條件基的深入研究為小波變換的誕生做了理論上的準備，而且J.O.Stromberg還構造了歷史上非常類似於現在的小波基；1986年著名數學家Y.Meyer偶然構造出一個真正的小波基，並與S.Mallat合作建立了構造小波基的同意方法棗多尺度分析之後，小波分析才開始蓬勃發展起來，其中比利時女數學家I.Daubechies撰寫的《小波十講（Ten Lectures on Wavelets）》對小波的普及起了重要的推動作用。它與Fourier變換、視窗Fourier變換（Gabor變換）相比，這是一個時間和頻率的局域變換，因而能有效的從訊號中提取資訊，通過伸縮和平移等運算功能對函式或訊號進行多尺度細化分析（Multiscale Analysis），解決了Fourier變換不能解決的許多困難問題，從而小波變化被譽為“數學顯微鏡”，它是調和分析發展史上里程碑式的進展。

小波(Wavelet)這一術語，顧名思義，“小波”就是小的波形。所謂“小”是指它具有衰減性；而稱之為“波”則是指它的波動性，其振幅正負相間的震盪形式。與Fourier變換相比，小波變換是時間(空間)頻率的區域性化分析，它通過伸縮平移運算對訊號(函式)逐步進行多尺度細化，最終達到高頻處時間細分，低頻處頻率細分，能自動適應時頻訊號分析的要求，從而可聚焦到訊號的任意細節，解決了Fourier變換的困難問題，成為繼Fourier變換以來在科學方法上的重大突破。有人把小波變換稱為“數學顯微鏡”。

小波分析的應用是與小波分析的理論研究緊密地結合在一起地。現在，它已經在科技資訊產業領域取得了令人矚目的成就。電子資訊科技是六大高新技術中重要的一個領域，它的重要方面是影象和訊號處理。現今，訊號處理已經成為當代科學技術工作的重要部分，訊號處理的目的就是：準確的分析、診斷、編碼壓縮和量化、快速傳遞或儲存、精確地重構（或恢復）。從數學地角度來看，訊號與影象處理可以統一看作是訊號處理（影象可以看作是二維訊號），在小波分析地許多分析的許多應用中，都可以歸結為訊號處理問題。現在，對於其性質隨實踐是穩定不變的訊號，處理的理想工具仍然是傅立葉分析。但是在實際應用中的絕大多數訊號是非穩定的，而特別適用於非穩定訊號的工具就是小波分析。

小波分析是當前應用數學和工程學科中一個迅速發展的新領域，經過近10年的探索研究，重要的數學形式化體系已經建立，理論基礎更加紮實。與Fourier變換相比，小波變換是空間(時間)和頻率的區域性變換，因而能有效地從訊號中提取資訊。通過伸縮和平移等運算功能可對函式或訊號進行多尺度的細化分析，解決了Fourier變換不能解決的許多困難問題。小波變換聯絡了應用數學、物理學、電腦科學、訊號與資訊處理、影象處理、地震勘探等多個學科。數學家認為，小波分析是一個新的數學分支，它是泛函分析、Fourier分析、樣調分析、數值分析的完美結晶；訊號和資訊處理專家認為，小波分析是時間—尺度分析和多分辨分析的一種新技術，它在訊號分析、語音合成、影象識別、計算機視覺、資料壓縮、地震勘探、大氣與海洋波分析等方面的研究都取得了有科學意義和應用價值的成果。

事實上小波分析的應用領域十分廣泛，它包括：數學領域的許多學科；訊號分析、影象處理；量子力學、理論物理；軍事電子對抗與武器的智慧化；計算機分類與識別；音樂與語言的人工合成；醫學成像與診斷；地震勘探資料處理；大型機械的故障診斷等方面；例如，在數學方面，它已用於數值分析、構造快速數值方法、曲線曲面構造、微分方程求解、控制論等。在訊號分析方面的濾波、去噪聲、壓縮、傳遞等。在影象處理方面的影象壓縮、分類、識別與診斷，去汙等。在醫學成像方面的減少B超、CT、核磁共振成像的時間，提高解析度等。

(1)小波分析用於訊號與影象壓縮是小波分析應用的一個重要方面。它的特點是壓縮比高，壓縮速度快，壓縮後能保持訊號與影象的特徵不變，且在傳遞中可以抗干擾。基於小波分析的壓縮方法很多，比較成功的有小波包最好基方法，小波域紋理模型方法，小波變換零樹壓縮，小波變換向量壓縮等。

(2)小波在訊號分析中的應用也十分廣泛。它可以用於邊界的處理與濾波、時頻分析、信噪分離與提取弱訊號、求分形指數、訊號的識別與診斷以及多尺度邊緣檢測等。

(3)在工程技術等方面的應用。包括計算機視覺、計算機圖形學、曲線設計、湍流、遠端宇宙的研究與生物醫學方面。

傅立葉變換的基函式是sin cos函式，也就是說它只是用這２個去逼近原訊號，對於原訊號不一定都與正弦和餘弦函式相似，因此小波基函式的多樣效能使逼近的權重因子更加準確．正是因為FFT的頻域區域性性不強，而且時頻分開，所以才有了以後的方法――當然包括了小波！

原文連結：

http://blog.sina.com.cn/s/blog_62dc34180100fs33.html

岡薩雷斯版<影象處理>裡面的解釋非常形象：一個恰當的比喻是將傅立葉變換比作一個玻璃稜鏡。稜鏡是可以將光分解為不同顏色的物理儀器，每個成分的顏色由波長（或頻率）來決定。傅立葉變換可以看作是數學上的稜鏡，將函式基於頻率分解為不同的成分。當我們考慮光時,討論它的光譜或頻率譜。同樣, 傅立葉變換使我們能通過頻率成分來分析一個函式。

Fourier theory講的就是：任何信號（如影象訊號）都可以表示成一系列正弦訊號的疊加，在影象領域就是將影象brightness variation 作為正弦變數。比如下圖的正弦模式可在單傅立葉中由三個分量編碼：頻率f、幅值A、相位γ 這三個value可以描述正弦影象中的所有資訊。

1.frequency

frequency在空間域上可由亮度調節，例如左圖的frequency比右圖的frequency低……

2.幅值magnitude（amplitude）

sin函式的幅值用於描述對比度，或者說是影象中最明和最暗的峰值之間的差。（一個負幅值表示一個對比逆轉，即明暗交換。）

3.相位表示相對於原始波形，這個波形的偏移量（左or右）。

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一個傅立葉變換編碼是一系列正弦曲線的編碼，他們的頻率從0開始（即沒有調整，相位為0，平均亮度處），到尼奎斯特頻率（即數字影象中可被編碼的最高頻率，它和畫素大小、resolution有關）。傅立葉變換同時將影象中所有頻率進行編碼：一個只包含一個頻率f1的訊號在頻譜上橫座標f為f1的點處繪製一個單峰值，峰值高度等於對應的振幅amplitude，或者正弦曲線訊號的高度。如下圖所示。

DC term直流訊號對應於頻率為0的點，表示整幅影象的平均亮度，如果直流訊號DC=0就表示整幅影象平均亮度的畫素點個數=0，可推出 灰度圖中，正弦曲線在正負值之間交替變化，但是由於灰度圖中沒有負值，所以所有的真實影象都有一個正的DC term，如上圖所示。

出於某些數學分析原因，我們經常把傅立葉變換用mirror-image表示，在原點的的兩端，frequency都是增加的方向，具有相同的幅值。

上面講的都是一維訊號，一個二維傅立葉變換是一維傅立葉變換在每一個行掃描線和列掃描線上的傅立葉變換的疊加。

傅立葉譜圖上的每一個畫素點都代表一個頻率值，幅值由畫素點亮度變碼而得。最中心的亮點是指直流分量，傅立葉譜圖中越亮的點，對應於灰度圖中對比越強烈（對比度越大）的點。

這裡頻率比上面的小，相應的亮點比上副圖也集中。

影象傅立葉變換的物理意義

傅立葉提出任何周期函式都可以表示為不同頻率的正弦和/或餘弦和的形式，每個正弦和/或餘弦乘以不同的係數（傅立葉級數）。影象的頻率是表徵影象中灰度變化劇烈程度的指標，是灰度在平面空間上的梯度.在噪聲點和影象邊緣處的頻率為高頻。

傅立葉變換在實際中有非常明顯的物理意義，設f是一個能量有限的模擬訊號，則其傅立葉變換就表示f的譜。從純粹的數學意義上看，傅立葉變換是將一個函式轉換為一系列周期函式來處理的。從物理效果看，傅立葉變換是將影象從空間域轉換到頻率域，其逆變換是將影象從頻率域轉換到空間域。換句話說，傅立葉變換的物理意義是將影象的灰度分佈函式變換為影象的頻率分佈函式，傅立葉逆變換是將影象的頻率分佈函式變換為灰度分佈函式.

傅立葉變換以前，影象（未壓縮的點陣圖）是由對在連續空間（現實空間）上的取樣得到一系列點的集合，我們習慣用一個二維矩陣表示空間上各點，則影象可由z=f(x,y)來表示。由於空間是三維的，影象是二維的，因此空間中物體在另一個維度上的關係就由梯度來表示，這樣我們可以通過觀察影象得知物體在三維空間中的對應關係。為什麼要提梯度？因為實際上對影象進行二維傅立葉變換得到頻譜圖，就是影象梯度的分佈圖，當然頻譜圖上的各點與影象上各點並不存在一一對應的關係，即使在不移頻的情況下也是沒有。傅立葉頻譜圖上我們看到的明暗不一的亮點，實際上影象上某一點與鄰域點差異的強弱，即梯度的大小，也即該點的頻率的大小（可以這麼理解，影象中的低頻部分指低梯度的點，高頻部分相反）。一般來講，梯度大則該點的亮度強，否則該點亮度弱。這樣通過觀察傅立葉變換後的頻譜圖，也叫功率圖，我們首先就可以看出，影象的能量分佈，如果頻譜圖中暗的點數更多，那麼實際影象是比較柔和的（因為各點與鄰域差異都不大，梯度相對較小），反之，如果頻譜圖中亮的點數多，那麼實際影象一定是尖銳的，邊界分明且邊界兩邊畫素差異較大的。對頻譜移頻到原點以後，可以看出影象的頻率分佈是以原點為圓心，對稱分佈的。將頻譜移頻到圓心除了可以清晰地看出影象頻率分佈以外，還有一個好處，它可以分離出有周期性規律的干擾訊號，比如正弦干擾，一副帶有正弦干擾，移頻到原點的頻譜圖上可以看出除了中心以外還存在以某一點為中心，對稱分佈的亮點集合，這個集合就是干擾噪音產生的，這時可以很直觀的通過在該位置放置帶阻濾波器消除干擾.

影象是兩個引數的函式，通過一組正交函式的線性組合可以將其分解，而傅立葉就是通過諧波函式來分解的。而對於離散傅立葉變換，傅立葉變換的條件是存在的。

傅立葉變換進行影象處理有幾個特點

1. 直流成分F(0,0)等於影象的平均值；

2. 能量頻譜|F（u,v）|^2完全對稱於原點；其中F=PfQ, f表示原圖，P和Q都是對稱的實正交矩陣，這個公式表示傅立葉變換就是個正交矩陣的正交變換

3.影象f平移（a,b）後，F只有exp[-2pij(au/M+bv/M)]的相位變化，能量頻譜不發生變化。

4. 影象f自乘平均等於能量頻譜的總和，f的分散等於能量頻譜中除直流成分後的總和。

5.影象f(x,y)和g(x,y)的卷積h(x,y)=f(x,y)*g(x,y)的傅立葉變換H（u，v）等於f(x,y)和g(x,y)各自的傅立葉變換的乘積。

影象中的每個點通過傅立葉變換都成了諧波函式的組合，也就有了頻率，這個頻率則是在這一點上所有產生這個灰度的頻率之和，也就是說傅立葉變換可以將這些頻率分開來。當想除去影象背景時，只要去掉背景的頻率就可以了。

在進行傅立葉變換時，實際上在某一特定的頻率下，計算每個影象位置上的乘積。什麼乘積呢，就是f(x,y)exp[-j2pi(ux+vy)]，然後計算下一個頻率。這樣就得到了頻率函式。

也就是說，我們看到傅立葉變換的每一項（對每對頻率u,v，F(u，v)的值）是由f(x)函式所有值的和組成。f(x)的值與各種頻率的正弦值和餘弦值相乘。因此，頻率u, v決定了變換的頻率成分（x, y也作用於頻率，但是它們相加，對頻率有相同的貢獻）。

通常在進行傅立葉變換之前用(-1)^(x+y)乘以輸入的影象函式，這樣就可以將傅立葉變換的原點F(0,0)移到(M/2,N/2)上。

每個F(u,v)項包含了被指數修正的f(x,y)的所有值，因而一般不可能建立影象特定分量和其變換之間的聯絡。然而，一般文獻通常會有關於傅立葉變換的頻率分量和影象空間特徵之間聯絡的闡述。變換最慢的頻率成分（u=v=0）對應一幅影象的平均灰度級。當從變換的原點移開時，低頻對應著影象的慢變換分量，較高的頻率開始對應影象中變化越來越快的灰度級。這些事物體的邊緣和由灰度級的突發改變（如噪聲）標誌的影象成分。

在頻率域中的濾波基礎

1. （-1）^(x+y)乘以輸入影象來進行中心變換

2. 由（1）計算影象的DFT， 即F（u,v）

3. 用濾波器函式H(u,v)乘以F（u,v）

4. 計算（3）中的結果的反DFT

5. 得到（4）中的結果的實部

6. 用(-1)^(x+y)乘以（5）中的結果

另外我還想說明以下幾點：

1、影象經過二維傅立葉變換後，其變換系數矩陣表明：

若變換矩陣Fn原點設在中心，其頻譜能量集中分佈在變換系數短陣的中心附近(圖中陰影區)。若所用的二維傅立葉變換矩陣Fn的原點設在左上角，那麼影象訊號能量將集中在係數矩陣的四個角上。這是由二維傅立葉變換本身性質決定的。同時也表明一幅影象能量集中低頻區域。
2 、變換之後的影象在原點平移之前四角是低頻，最亮，平移之後中間部分是低頻，最亮，亮度大說明低頻的能量大（幅角比較大）

Reference:

http://hi.baidu.com/walanlixuming/blog/item/36d49ad5857a22c951da4b26.html

原文連結：

http://blog.csdn.net/abcjennifer/article/details/7622228