1、狄克斯特拉演算法 （Dijkstra's algorithm）

對於廣度優先搜尋找出的路徑，只適用於圖中邊的權值都相同的情況，如果權值不相同，可能找出的未必是最短路徑。如圖：

對於不同權值的圖，我們使用狄克斯特拉演算法尋找最短路徑，該演算法包含以下四個步驟：

• 找出“最便宜”的節點， 即可在最短時間內到達的節點。
• 更新該節點的鄰居的開銷， 其含義將稍後介紹。
• 重複這個過程， 直到對圖中的每個節點都這樣做了。
• 計算最終路徑。

2、術語

狄克斯特拉演算法用於每條邊都有關聯數字的圖， 這些數字稱為權重（weight） 。帶權重的圖稱為加權圖 （weighted graph） ， 不帶權重的圖稱為非加權圖 （unweighted graph

狄克斯特拉演算法只適用於有向無環圖 （directed acyclic graph， DAG） 。

3、演算法舉例

• 問題背景

Rama， 想拿一本樂譜換架鋼琴。Alex說： “這是我最喜歡的樂隊Destroyer的海報， 我願意拿它換你的樂譜。 如果你再加5美元， 還可拿樂譜換我這張稀有的Rick Astley黑膠唱片。 ”Amy說： “哇， 我聽說這張黑膠唱片裡有首非常好聽的歌曲， 我願意拿我的吉他或架子鼓換這張海報或黑膠唱片。 ”Beethoven

這個圖中的節點是大家願意拿出來交換的東西， 邊的權重是交換時需要額外加多少錢。Rama需要確定採用哪種路徑將樂譜換成鋼琴時需要支付的額外費用最少。 為此， 可以使用狄克斯特拉演算法！ 別忘了， 狄克斯特拉演算法包含四個步驟。 在這個示例中， 你將完成所有這些步驟， 因此你也將計算最終路徑。

首先建立一個表格， 在其中列出每個節點的開銷。 這裡的開銷指的是達到節點需要額外支付多少錢。

在執行狄克斯特拉演算法的過程中， 你將不斷更新這個表。 為計算最終路徑， 還需在這個表中新增表示父節點的列。

第一步 ： 找出最便宜的節點。 在這裡， 換海報最便宜，不需要支付額

表中增加了架子鼓和吉他的開銷，這些開銷是通過海報交換所需支付的額外費用，所以他們的父節點均為海報。

再次執行第一步 ： 下一個最便宜的節點是黑膠唱片——需要額外支付5美元。
再次執行第二步 ： 更新黑膠唱片的各個鄰居的開銷。

對照上表，我們發現吉他和架子鼓的開銷都更新了，這意味著經“黑膠唱片”前往“架子鼓”和“吉他”的開銷更低， 因此你將這些樂器的父節點改為黑膠唱片。

於是，你計算出了到達鋼琴的開銷——40，而它的父節點為吉他。

最後， 對最後一個節點——架子鼓， 做同樣的處理。

如果用架子鼓換鋼琴， Rama需要額外支付的費用更少。 因此， 採用最便宜的交換路徑時， Rama需要額外支付35美元 。

最短路徑的確定：找到鋼琴的父節點（架子鼓），通過沿父節點回溯， 便得到了完整的交換路徑。

注意：不能將狄克斯特拉演算法用於包含負權邊的圖 。 在包含負權邊的圖中， 要找出最短路徑， 可使用另一種演算法——貝爾曼-福德演算法 （Bellman-Ford algorithm） 。 

4、演算法實現

python程式碼實現：

graph={}
#儲存起點的鄰居和權值
graph["start"]={}
graph["start"]["a"]=6
graph["start"]["b"]=2
#新增其他節點和鄰居
graph["a"]={}
graph["a"]["fin"]=1

graph["b"]={}
graph["b"]["a"]=3
graph["b"]["fin"]=5

graph["fin"]={}#終點沒有任何鄰居

#儲存父節點
parents={}
parents["a"]="start"
parents["b"]="start"
parents["fin"]=None

#記錄處理過的節點
processed=[]

#儲存每個節點的開銷
infinity=float("inf")
costs={}
costs["a"]=6
costs["b"]=2
costs["fin"]=infinity

def find_lower_cost_node(costs):
    lowest_cost=float("inf")
    lowest_cost_node=None
    for node in costs:#遍歷所有的節點
        cost=costs[node]
        if cost<lowest_cost and node not in processed:#如果當前節點的開銷更低且未處理過
            lowest_cost=cost
            lowest_cost_node=node#就將其視為開銷最低的節點
    return lowest_cost_node

node=find_lower_cost_node(costs)#在未處理的節點中找出開銷最小的節點
while node is not None:#這個while迴圈在所有節點都被處理過後結束
    cost=costs[node]
    neighbors=graph[node]
    for n in neighbors.keys():#遍歷當前節點的所有鄰居
        new_cost=cost+neighbors[n]
        if costs[n]>new_cost:#如果經當前節點前往該鄰居更近
            costs[n]=new_cost#就更新該鄰居的開銷
            parents[n]=node#同時將該鄰居的父節點設定為當前節點
    processed.append(node)#將當前節點標記為處理過
    node=find_lower_cost_node(costs)#找出接下來要處理的節點， 並迴圈

結果輸出：

5、小結

• 廣度優先搜尋用於在非加權圖中查詢最短路徑。
• 狄克斯特拉演算法用於在加權圖中查詢最短路徑。
• 僅當權重為正時狄克斯特拉演算法才管用。
• 如果圖中包含負權邊， 請使用貝爾曼-福德演算法。