一.最長迴文子串問題與Manacher演算法.

迴文串，是一種滿足一定條件的字串，設字串S的第i位為 $S[i]$（字串從1開始），那麼S為迴文串僅當 $\mathrm{\forall }$

一個串的最長迴文子串定義為，這個串的一個最長的子串滿足這個子串為迴文串.

求最長迴文子串的樸素演算法是 $O$

我們在看Manacher演算法前，先來看樸素演算法.樸素演算法的思路就是列舉對稱位置，然後從對稱位置開始向兩邊拓展直到失配，時間複雜度為 $O(n^2)$.

但是我們發現這個樸素演算法的對稱中心有可能是一個字元，也有可能是兩個字元中間的空隙，這樣自己並不好處理.所以我們在所有字元的空隙間插入一個在原串中不會出現的字元，並在開頭加上兩個，末尾加上一個避免邊界判定.

比如下圖中第一個串處理後就變成了第二個串：

處理完之後，我們發現現在對稱中心就只會是在字元上了.並且考慮一個在處理過的串上的一個迴文子串 $S[l..r]$，設它的對稱中心為字元 $S[mid]$，那麼在原串上對應的迴文子串長度就是 $S[mid..r]$的長度減1.那麼現在的問題就變成了求對於每個mid值，求以它為中心拓展的最長的 $S[mid..r]$長度，我們設這個值為 $pal[mid]$.

接下來的部分與擴充套件KMP比較像，如果有興趣的可以去看看擴充套件KMP.

我們設綠色指標前的所有pal我們都已經處理出來了，紅色線段是一個迴文串，而且以紅色指標為對稱中心，且藍色與綠色指標關於紅色指標對稱.通過迴文串的定義，我們發現一個迴文串翻轉後仍然是迴文串，所以藍色指標的pal值小於或等於綠色指標的pal值.

到這裡我們就可以設計出一個演算法了.與擴充套件KMP類似的，我們記錄一個當前右端點最右邊的紅色線段的對稱中心p.然後在求解i的時候，我們找到它的對應點 $p-(i-p+1)+1=2p-i-1$，分成兩種情況：
1. $i>p+pal[p]-1$，也就是i在右端點最右的紅色線段之外，這時我們發現沒有任何資訊可以使用，所以直接暴力拓展，並更新p.
2. $i\leq p+pal[p]-1$，這個時候我們有資訊可以用，也就是先讓 $pal[i]=pal[2p-i-1]$.如果還可以往右拓展就暴力拓展，並更新p.

注意到這個演算法只有當一個點沒有被拓展過，才會被拓展一次，所以時間複雜度是 $O(n)$的.

程式碼如下：

int manacher(char *c,int len){
  int n,ans=0;
  tmp[1]='#';tmp[n=2]='#';
  for (int i=1;i<=len;++i)
    tmp[++n]=c[i],tmp[++n]='#';
  int p=0,t;
  for (int i=1;i<=n;++i){
    pal[i]=i<=p+pal[i]-1?pal[2*p-i+1]:1;
    while (tmp[i+pal[i]]==tmp[i-pal[i]]) ++pal[i];
    if (i+pal[i]>p+pal[p]) p=i;
    ans=max(ans,pal[i]-1);
  }
  return ans;
}

三.例題與程式碼.

題目：luogu3805.
程式碼如下（被卡常只有75分）：

#include<bits/stdc++.h>
  using namespace std;

#define Abigail inline void
typedef long long LL;

const int N=11000000;

char tmp[N*2+9];
int pal[N*2+9];

int manacher(char *c,int len){
  int n,ans=0;
  tmp[1]='#';tmp[n=2]='#';
  for (int i=1;i<=len;++i)
    tmp[++n]=c[i],tmp[++n]='#';
  int p=0,t;
  for (int i=1;i<=n;++i){
    pal[i]=i<=p+pal[i]-1?pal[2*p-i+1]:1;
    while (tmp[i+pal[i]]==tmp[i-pal[i]]) ++pal[i];
    if (i+pal[i]>p+pal[p]) p=i;
    ans=max(ans,pal[i]-1);
  }
  return ans;
}

char c[N+9];
int n;

Abigail into(){
  scanf("%s",c+1);
  n=strlen(c+1);
}

Abigail outo(){
  printf("%d\n",manacher(c,n));
}

int main(){
  into();
  outo();
  return 0; 
}