概述

希爾排序（Shell Sort）是 D.L.Shell 於 1959 年提出來的一種排序演算法，在這之前排序演算法的時間複雜度基本都是 O(n2) 的，希爾排序演算法是突破這個時間複雜度的第一批演算法之一。希爾排序是一種插入排序演算法。

版權說明

目錄

• 概述
• 版權說明
• 目錄
• 演算法簡介
• 演算法步驟
• 邏輯實現
• 複雜度分析
• 問題解答
• Ref

演算法簡介

希爾排序（Shell Sort）是 D.L.Shell 於 1959 年提出來的一種排序演算法，在這之前排序演算法的時間複雜度基本都是 O(n2) 的，希爾排序演算法是突破這個時間複雜度的第一批演算法之一。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　– 《大話資料結構》

演算法原理分析

在上一篇《排序算法系列：插入排序演算法》一文中，我們說到了一種複雜度為 O(n2) 的排序演算法。而對於插入排序而言，如果我們的排序序列基本有序，或是資料量比較小，那麼它的排序效能還是不錯的。為什麼？可能你會這樣問。資料量小，這個不用多說，對於多數排序演算法這一點都適用；如果一個序列已經基本有序（序列中小數普遍位於大數的前面），那麼我們在插入排序的時候，就可以在較少的比較操作之後使整體有序。如果，這一點你還不是很明白，可以先看看《排序算法系列：插入排序演算法》一文中的解釋。
基於上面基本有序和小資料量的提示，這裡就有了希爾排序的實現。希爾所做的就是分組，在每個分組中進行插入排序。如下就是希爾排序中分組的示意圖：


上面從詳細地說明了希爾排序的由來及希爾排序的分組精髓。那麼現在就要說希爾排序中的插入排序，是的沒有錯。畢竟希爾排序的核心就是分組+插入排序嘛。在這個示意圖中，我們可以很明顯地看出它想表達的東西。這裡只是將[3, 9, 7]看成了一個整體，對於其它的元素，暫時與[3, 9, 7]無關。

通過上面的兩步操作，我們可以得到一個序列 T1 = [4, 0, 6, 1, 7, 2, 8, 5, 9, 3]。咦，這個序列還是無序的呀，怎麼回事？我們說希爾排序的核心是分組和獲得一個基本有序的陣列。這裡說的是基本有序，並未做出承諾說這個序列已經有序。那麼，現在要做的就是繼續分組+插入排序。當然，對應的 step 是要進行修改的。詳細過程，參見下面的演算法步驟。

演算法步驟

通過上面的演算法原理分析，這裡可以總結出演算法實現的步驟。如下：
1. 獲得一個無序的序列 T0 = [4, 3, 6, 5, 9, 0, 8, 1, 7, 2]，並計算出當前序列狀態下的步長 step = length / 3 + 1；
2. 對序列 T0 按照步長週期分組；
3. 對每個子序列進行插入排序操作；
4. 判斷此時的步長 step 是否大於 1？如果比 1 小或是等於 1，停止分組和對子序列的插入排序，否則，就繼續；
5. 修改此時的步長 step = step / 3 + 1，並繼續第 2 到第 4 步；
6. 排序演算法結束，序列已是一個整體有序的序列。

邏輯實現

這是Shell 排序的核心模組，也是分組的關鍵步驟

private void core(int[] array) {
        int arrayLength = array.length;
        int step = arrayLength;
        do {
            step = step / 3 + 1;
            for (int i = 0; i < step; i++) {
                insert(array, i, step);
            }
            System.err.println(Arrays.toString(array));
        } while (step > 1);
    }

希爾排序的直接插入排序，注意這裡不同的是它只是針對某一個分組子序列進行插入排序

private void insert(int[] array, int offset, int step) {
        int arrayLength = array.length;
        int groupCount = arrayLength / step + (arrayLength % step > offset ? 1 : 0);
        for (int i = 1; i < groupCount; i++) {
            int nextIndex = offset + step * i;
            int waitInsert = array[nextIndex];

            while(nextIndex - step >= 0 && waitInsert < array[nextIndex - step]) {
                array[nextIndex] = array[nextIndex - step];
                nextIndex -= step;
            }

            array[nextIndex] = waitInsert;
        }
    }

更多詳細邏輯實現，請參見文章結尾的原始碼連結。

複雜度分析

問題解答

1. 為什麼我們排序的時候並不是在這些分組內部進行的？
   答：這裡我們分組的目的在於要完成的是對整個序列的基本序列處理，那麼我們肯定想要讓這些分組的資料儘量地分散開。如果要針對每個分組內部進行插入排序，那麼之後的每次操作，都會是在內部進行的，這樣的結果就是每個分組內部已經有序，只是整體仍然是無序的。
2. 分組步長的計算公式為什麼是 step = step / 3 + 1？
   答：這裡的步長計算很關鍵，可是究竟應該選取什麼樣的增量才是最好的，目前還尚未解決。不過大量的研究表明，當增量序列為 dlta[k] = 2t−k+1 - 1 (0 <= k <= t <= [log2(n+1)])時，可以獲得不錯的效果，其時間複雜度為 O(n3/2)。

Ref

• 《大話資料結構》

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