Provement of Gaussian Distribution：

設正態分佈概率密度函式是

f(x)=12π−−√σ∗e−(x−u)22σ2

於是：

∫+∞−∞e−(x−u)22σ2dx=2π−−√σ（∗）
積分割槽域是從負無窮到正無窮.
|| **1.expectation:
對 （∗） 式兩邊對 u 求導：
∫+∞−∞e−(x−u)22σ2∗−2(x−u)2σ2dx=0
約去常數,再兩邊同乘以 σ2π√ 得：
∫+∞−∞e−(x−u)22σ2∗−(x−u)2π−−√σdx=0 or∫+∞−∞e−(x−u)22σ2∗x−u2π−−√σdx=0
把 x

−u 拆開,再移項：
∫+∞−∞e−(x−u)22σ2∗x2π−−√σdx
=∫+∞−∞e−(x−u)22σ2∗u2π−−√σdx
也就是
∫+∞−∞x∗f(x)dx=∫+∞−∞u∗f(x)dx=u∗1=u
到這一步證明了 expectation 就是 u.

||   **2.variance                                                     

對 （∗） 式兩邊對 σ 求導：

∫+∞−∞(x−u)2

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