**Provement of Gaussian Distribution：**    
    
設正態分佈概率密度函式是
$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2π}\sigma}*e^{\frac{-(x-u)^2}{2\sigma^2}} $$

於是：
$$\int^{+\infty}_{-\infty} \frac{e^{-(x-u)^2}}{2\sigma^2}dx=(\sqrt {2π})t.\ \ \ \ \ \ （*） $$
積分割槽域是從負無窮到正無窮.
    ||   **1.expectation: 
對 $（*）$ 式兩邊對 $u$ 求導：
$$\int^{+\infty}_{-\infty} {e^{\frac {-(x-u)^2}{2\sigma^2}}* \frac{-2(x-u)}{2\sigma^2}}dx=0  $$
約去常數,再兩邊同乘以 $\frac{\sigma}{\sqrt{2π}}$ 得：
$$\int^{+\infty}_{-\infty} e^{\frac{-(x-u)^2}{2\sigma ^2}}*\frac{-(x-u)}{\sqrt{2π}\sigma} dx=0 $$ or$$\int^{+\infty}_{-\infty} e^{\frac{-(x-u)^2}{2\sigma ^2}}*\frac{x-u}{\sqrt{2π}\sigma} dx=0 $$ 
把 $x-u$ 拆開,再移項：
$$\int^{+\infty}_{-\infty} e^{\frac{-(x-u)^2}{2\sigma ^2}}*\frac{x}{\sqrt{2π}\sigma} dx$$ 
$$=\int^{+\infty}_{-\infty} e^{\frac{-(x-u)^2}{2\sigma ^2}}*\frac{u}{\sqrt{2π}\sigma} dx$$ 
也就是 
$$\int^{+\infty}_{-\infty}x*f(x)dx=\int^{+\infty}_{-\infty}u*f(x)dx$$$$=u*1=u $$
到這一步證明了 $expectation$ 就是 $u$.
    
    ||   **2.variance                                                     
對 $（*）$ 式兩邊對 $\sigma$ 求導：
$$\int^{+\infty}_{-\infty}\frac{(x-u)^2}{\sigma^3}*e^{\frac{-(x-u)^2}{2\sigma^2}}dx=\sqrt{2π} $$
移項：
$$\int^{+\infty}_{-\infty}\frac{(x-u)^2}{\sqrt{2π}\sigma} *e^{\frac{-(x-u)^2}{2\sigma^2}}dx={\sigma^2}$$
也就是:
$$\int^{+\infty}_{-\infty}(x-u)^2*f(x)dx=\sigma^2 $$
到這一步證明了 $variance$ 就是 $\sigma^2$.
從而 $Gaussian \ \ Distribution $ 得證.

* * 第一
* * 第二
* * 參考Davide Giraudo的方法。