概念

方差分析：又稱變異分析，是英國統計學家R.A.Fisher於1923年提出的一種統計方法，故有時也稱為F檢驗。

可簡寫為ANOVA。用於多組均數 之間的顯著性檢驗。

要求：各組觀察值服從正態分佈或近似正態分佈，並且各組之間的方差具有齊性。

基本思想：將所有測量值間的總變異按照其變異的來源分解為多個部份，然後進行比較，評價由某種因素所引起的變異是否具有統計學意義。

計算方法

總變異（Total variation）：全部測量值x_ij與總均數間μ的差異

組間變異（ between group variation ）：各組的均數μ_i與總均數μ間的差異

組內變異（within groupvariation )：每組的每個測量值x_ij

其中，三種變異的關係為：SST = SSB + SSW，DT = DB+ DW

例題

有三組人，分別服用了不同的高血壓藥A，B，C一個月以後，觀察每一個人血壓下降數：

A組               4             5             7             3             8             5             3                                           μ_A= 5.00

B組               1             5             3             7             4             2             7             4             1             μ_B

C組               7             8             10           6             9             8                                                          μ_C= 8.00

我們想要知道A，B，C三個藥對於下降血壓的效果是否有明顯的區別。

解題

假設：

H0：A，B，C三個藥下降血壓效果沒有區別，即μ_A= μ_B= μ_C

H1：A，B，C三個藥下降血壓有區別

1. 首先我們需要求SST，SSB，SSW

求SST之前我們先需要求出A，B，C三組人的平均值：

μ = (x_A1+x_A2+…+x_An+x_B1+x_B2+…+x_Bn+x_C1+x_C2+…+x_Cn)

= (4+5+7+3+8+5+3+1+5+3+7+4+2+7+4+1+7+8+10+6+9+8)/22

= 5.32

所以SST = (x_A1-μ)²+…+(x_An-μ)²+(x_B1-μ)²…+(x_Bn-μ)²+(x_C1-μ)²…+(x_Cn-μ)²

= (4-μ)²+…+(3 -μ)²+(1-μ)²…+(1-μ)²+(7-μ)²…+(8-μ)²

= 139

再求SSB = (μ_A -μ) ²+(μ_A-μ)²+( μ_A-μ)²+( μ_B-μ)²+( μ_B-μ)²+( μ_B-μ)²+( μ_C-μ)²+( μ_C-μ)²+( μ_C-μ)²=65.2

最後求

SSW = (x_A1- μ_A)²+…+(x_An- μ_A)²+(x_B1-μ_B)²…+(x_Bn- μ_B)²+(x_C1-μ_C)²…+(x_Cn- μ_C)²

= (4-5.00)²+…+(3 -5.00)²+(1-3.78)²…+(1-3.78)²+(7-8.00)²…+(8 -8.00)²

= 73.6

根據性質SST = SSW + SSB，所以這三個只要求出其它兩個，另外一個用等式SST= SSW + SSB即可求出。

2. 我們求自由度：DT，DB，DW。

我們知道樣本總共有22個，而且我們知道樣本總體的值，所以我們只需要知道其中21個樣本，剩下的1個就可以的出來，所以總體自由度DT= 22-1 = 21

因為我們有3組，我們只需要知道其中的兩組，另外一組也可以的出來，所以組間自由度DB= 3-2 = 2

第一組有7個樣本，我們只需要知道其中的6個，剩下的一個可以的出來，所以第一組的自由度DW1= (7-1) = 6，同理，第二三組的也可以的出來，所以總的組內自由度DW= (7-1) + (9-1) +(6-1) = 19

同理，我們有性質DT = DB + DW，所以我們只要知道其中兩個自由度，剩下的一個可以由公式得出。

3. 最後我們求F，F的公式為F = (SSB/DB) / (SSW/DW) =(65.2/2) / (73.6/19) = 8.42，且自由度為F(2,19)

此時我們α=0.05的F分佈表如下圖，我們看到自由度為2和19時，置信度為95%的值為3.55，而此時我們的值為8.42，遠超過3.55，所以我們接受H0的概率小於0.05，所以拒絕H0假設，接受H1，即A，B，C三個藥的效果有明顯的不同

R語言實現

anova = function(x){
  
  x_mean = sapply(x,mean)
  total_mean = mean(unlist(x))
  
  sst = sum((unlist(x)-total_mean)^2)
  
  ssw = 0
  for(i in 1:length(x)){
    w = sum((x[[i]]-x_mean[i])^2)
    ssw = ssw + w
  }
  
  ssb = 0
  for(i in 1:length(x)){
    b = length(x[[i]])*((x_mean[i]-total_mean)^2)
    ssb = ssb + b
  }
  
  Nt = length(unlist(x))-1 # 總自由度
  Nb = length(x)-1 # 組間自由度
  Nw = Nt - Nb 
  
  f = (ssb/Nb)/(ssw/Nw)
  
  result = c(sst,ssb,ssw,Nt,Nb,Nw,f)
  names(result)= c('sst','ssb','ssw','Nt','Nb','Nw','f')
  
  return(result)
  
}

x1 = c(4,5,7,3,8,5,3)
x2 = c(1,5,3,7,4,2,7,4,1)
x3 = c(7,8,10,6,9,8)
x = list(x1,x2,x3)

f = anova(x)