概率論與數理統計筆記第一天
概率論：
隨機事件： 包括基本事件，複合事件，必然事件，不可能事件；
A⊆B： 事件A 發生，一定導致事件B 發生；
A=B： A⊆B, B⊆A
A∪B: 事件A與事件B 至少發生一次；
A∩B,AB,A*B: 事件A 與 事件B 同時發生；
AB=∅時，則事件A 與 事件B 為互斥事件(互不相容事件)；
A-B = A- A∩B = A
AB=∅,且 A∪B =S, 則 事件A 與 事件B 互為逆事件，或 對立事件；
邏輯分配律： A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C);
德摩根率：
= 
= 
概率公理：
1.非負性；
2.概率的有限可加性；
3.性質：
1. A⊆B,則 P(B) >= P(A), 且 ： P(A-B)=P(B)-P(A);
2. 0<=P<=1, P(A)+ P(
) = 1;
3. P(A∪B)<= P(A)+P(B);
P(A∪B) =P(A)+P(B)-P(AB)
古典概型：
特點：
1.樣本元素有限；
2.每個基本事件出現的可能性相等；
公式：
A稱為： 排列數公式；
C稱為： 組合數公式；
關於排列組合的自我理解！ 結合這裡: 組合數公式= 排列集合 去掉 重複的組合；
條件概型：
, 表示 在A發生的情況下，B發生的概率；
若 
， 則 
乘法公式:
P(AB) = P(A)*P(B|A)
推廣： 將一部分看作為整體，依次拆開；
注意條件概率，與同時出現的區別；
全概率公式:
由乘法公式 和 條件概率 推導而來；
貝葉斯公式：
全概率公式的升級；
，可看作由條件概率推導而來；
獨立事件：
P(A|B) = P(A) =P(B|A);
有： P(AB) = P(A)*P(B);
相互獨立與互不相容的區別:
互不相容，指的是不能同時發生；
相互獨立，指的是二者可以同時發生，只是兩個事件互不影響；
二者沒有關係，或者說沒有推理關係；
ABC三事件兩兩獨立 =/= 三事件獨立；
若AB為獨立事件，則A與B，A與
， 
與
也相互獨立；
隨機變數：
分類： 離散型； 非離散型(連續型，其它)；
隨機變數的分佈律：
隨機變數X 所有可能取值的概率情況表示為:
表示：隨機變數X服從該分佈；
或者記作： 
一般地，概率有三種表示式：
1.分析表示式： 如：
2.表格或者 矩陣表示式，如上；
3.圖形表示式；
常見離散型隨機變數的概率分佈：
1.兩點分佈：
即 X 只可能取 0 和 去兩個值，其表示式為：
2.等可能分佈：
即 X 的分佈 服從：
3.二項分佈:（n重伯努利實驗： 相互獨立實驗n重，只有兩種可能結果）
記作： 
泛化：
或者表示為： 
或者記作： X ~ b(n,p)
4.泊松分佈:
泊松定理：設 λ是一個大於0 的常數， n 為正整數，若 有： 
,則 對任意正整數k , 有：
記作： 
5.幾何分佈：
其中，p=1-q, q表失敗，p表成功。
隨機變數的分佈函式：
理解： 分佈函式存在的原因在於，級數的知識讓我們知道累加的式子存在規律；
分佈函式概念：
對於隨機變數X，我們不僅要知道X取哪些值，知道X取這些值的概率，更重要的是想知道X在 區間(a,b)的概率；
eg: 
，記
，
分佈函式的定義：
設X 是隨機變數，x 是任意實數，函式 F(x) = P{X<= x},稱為 X 的分佈函式；
它的定義域為： R , 值域為： [0,1]
注意： P{X >= 5.5} 與 P{x >= 5.5}是不一樣的。
分佈函式的性質：
1. 0 <= F(x) <= 1, x∈(-∞,+∞);
2. F(x1) < F(x2), (x1 < x2)
3. F(-∞) = lim F(x)= 0, x-> -∞;
F(∞) = lim F(x) =1, x-> ∞;
4. 
分佈函式重要公式:
1. P{a<= X <= b} = F(b) - F(a);
2. P{X > a} = 1-F(a);
注意，不同的隨機變數，其分佈函式不一定不同
連續型隨機變數及其概率密度：
幾何概型： 若事件發生的概率 只與 長度（或面積，或體積）有關，則稱之為 幾何概型；
連續性隨機變數：
對於 X 的分佈函式 F(x), 存在非負函式，使得 ∀ x∈R, 
(邊上限積分), f(x) 稱為 x的概率密度函式；稱X 為連續性隨機變數；
性質:
F'(x) = f(x)
概率密度 和分佈函式 必知 其一 方可求解；
概率密度的概念與性質：
對於隨機變數X，對於分佈函式F(x),存在非負函式，對∀ x∈R, 
,稱為：X 為連續性隨機變數； f(x)稱為 X 的概率密度函式；
性質:
1. f(x) >= 0;
2. P{X <= a} = F(a) = 
3. 若 P{x=a} =0, 此時 無法確定 {X = a} 是不可能事件；
4. P{X >a} = 1-F(a) = 
5. 若 f(x) 在 點 x 處連續，則有 F'(x) = f(x) 即 可積分函式的原函式一定連續；
eg: 設連續性隨機變數X 的分佈函式：
F（x）= 
1.求 A,B的值； 2.求X的概率密度函式；
eg: 設 隨機變數 X 的概率密度：
f(x) =
1.求k； 2.求 X 的分佈函式；
常見連續型隨機變數的分佈（概率密度函式 與 分佈函式）：
1.均勻分佈：
概率密度： 
, 稱X 服從區間(a,b) 的均勻分佈； 記作： X ~ U(a,b)
分佈函式： 
2.指數分佈：
概率密度： 
, 稱 X 服從 指數分佈； 記作： X ~ Z(α);
分佈函式： 
3.正態分佈（高斯分佈）：
概率密度： 
,
稱 X 服從引數為 μ 和 σ^2 的正態分佈，記作: X ~N(μ,σ^2);
其中引數的作用： μ 改變概率密度函式影象的位置，稱為位置引數； σ影響概率密度函式圖形的峰高，稱為尺度引數；
分佈函式： 
標準正態分佈： 若 X ~（0，1） 則 
稱為標準正態分佈；
性質： 其概率密度影象關於 x= μ 對稱，因此有：
f(x) =f(2μ -x) ==> F(x) = 1-F(2μ-x) = 1-F(-x)
注意，其分佈函式不一定對稱；
若函式的原函式不為初等函式，則可以用二重積分計算其定積分的值。
常見標準正態分佈值： Φ(0) =0.5 ,Φ(0.5) = 0.6915
引理（正態分佈的標準化）：
若 X ~N(μ,σ^2), 則 Z = （x-μ)/σ ~ N(0,1)
, 即 所有分佈都可以轉化為標準正態分佈計算；
隨機變數的函式分佈(跟 連續性隨機變數的概率密度函式，以及離散型隨機變數的概率分佈 不是同一個概念)：
以下內容引用自：當地較為英俊的男子
所以，隨機變數的分佈函式也好，隨機變數的函式分佈也好， 它們的本質 都是分佈函式。 斷句時要注意，並且要注意全稱： 隨機變數 的 分佈函式 以及 隨機變數的函式 的 分佈函式；
如： Y = sin X;
1.離散型： 略；
2.連續性隨機變數的函式分佈：
1.分佈函式法:
即 先求 
分佈函式，再求： 
= 
;
2.公式法：
多維隨機變數及其分佈：
二維隨機變數：
設 E 是隨機實驗，樣本空間 S ={w} , 設 X = X(w) , Y = Y(w) 是定義在S 上的 隨機變數， 由他們構成的一個向量(X,Y) 叫二維隨機變數； 記作： (X,Y) = （ X(w) , Y(w)）;
二維隨機變數的聯合分佈函式：
稱為 隨機變數 X 和 Y 的 聯合分佈函式；
若 
，稱為 邊緣分佈函式；
性質：
1. F(x,y) 是 變數x 和 y 的不減函式，即對於任意固定的 y， 當 x2>x1 時，F(x2,y) >= F(x1,y);
2. 0 <= F(x,y) <= 1 且 有
對於任意固定的 y,
F(-∞，y) = lim F(x,y) =0 , x-> -∞;
F(-∞,-∞) =0;
F(+∞,+∞)=1;
3. F(x,y) = F(x+0,y) , F(x,y) = F(x,y+0);
二維隨機變數的分佈函式性質：
F(x1 < X < x2 , y1 < Y < y2) = F(x2,y2) - F(x1,y2) -F(x2,y1) + F(x1,y1);
邊緣分佈函式： 
二維離散型隨機變數：
分佈概率： 
性質：
1. P ij >= 0;
2. 
;
分佈函式： F(x,y) = P{X <= x , Y <= y};
邊緣分佈 概率：
, 即當 x 或 y 一方不變時，對應的x 或者 y 加滿。
邊緣分佈函式： 
二維連續性隨機變數：
分佈函式： 
, 其中，f(u,v) 為概率密度函式；
性質：
1. f(x,y) >= 0, -∞<x <+∞;
2 . 
3. 
, 其說明：分佈函式 F(x,y) 與 密度函式 f(x,y) 可相互確定。
4. 隨機點 (X,Y) 落在平面的概率： 
邊緣概率密度 以及 邊緣分佈函式：
<1>. 知 F(x,y) , 求 
邊緣分佈函式： 
<2>. 知 F(x,y) 求 
先求，再求：
<3>. 知 f(x,y) , 求
<4>. 知 f(x,y) , 求 F(x,y)
<5>. 知 f(x,y) ，求：
關鍵式子：
二維隨機變數的常用分佈：
1.均勻分佈：
2. 二維正態分佈：
