AC自動機入門詳解
一.AC自動機的引入.
我們都知道KMP可以用來一個子串與母串之間的匹配，只需要通過一個next指標就可以實現O(n+m)匹配，已經達到了演算法下界，是一個很優秀的演算法了.
但是我們如何考慮多個子串與母串之間的匹配呢？
如果多個子串與母串之間的匹配用KMP來實現，效率可能就不那麼高了，這可怎麼辦呢？這就是AC自動機的由來.
AC自動機是什麼？其實就是在Trie樹上跑KMP.
二.Trie樹與KMP.
我們考慮單串時的KMP是怎麼匹配的？利用的是next陣列.
再考慮一下多串的一般套路？放進Trie樹.
那麼多串匹配怎麼辦？求Trie樹上的next陣列（在AC自動機裡就叫fail指標了）！
考慮Trie樹上在匹配一個串時，失配了怎麼辦？往Fail指標跳！就像下面這張圖：
我們認為這張圖中所有相同顏色的鏈與線段都是相同的，那麼當Trie樹上紅色的鏈失配時我們想要繼續匹配，就必須要讓紅色線段的一個字尾（例如藍色線段）與Trie樹上的另外一條以根為一段的鏈相同（例如藍色的鏈）.fail指標也就是連線紅色鏈的結尾與最長的滿足條件的藍色鏈的結尾（當然藍色得比紅色短）的一個指標（綠色箭頭）.
是不是突然感覺AC自動機很容易啊…然而理解fail指標不代表會構造fail指標（fail指標學過KMP與Trie樹就能懂了吧）…
三.構造fail指標.
構造fail指標其實很簡單，因為我們發現fail指標一定是從深度大的節點指向深度小的節點，又可以發現一個節點的fail指標可以通過它父親的fail指標構造，所以我們選擇使用BFS構造fail指標.
具體就是BFS每一層，一個節點的fail指標就用它父親的fail指標嘗試是否能匹配，不能匹配就繼續跳fail指標，知道能匹配或跳到了根（與KMP的next很像的跳法）.
程式碼如下：
void Get_fail(){ //注意程式碼中Trie樹的根編號為0
for (int i=0;i<C;++i) //初始不能直接push一個根，不然會導致第二層節點的fail指標指向自己
if (tr[0].s[i]) q.push(tr[0].s[i]);
while (!q.empty()){
int x=q.front(),t;q.pop();
for 值得注意的是，當我們去掉Trie樹上fail指標外的邊時，我們會發現Trie樹上的節點與所有fail指標構成了一棵樹！這棵樹就被稱為fail樹.
既然我們有了一棵樹，我們就可以對這棵樹進行一些操作了.於是一些毒瘤題就這麼應運而生（比如說BZOJ2434阿狸的打字機）.
四.Trie圖.
Trie圖是AC自動機的確定化形式，也就是說Trie圖是一個DFA（自動機分DFA或NFA）.
Trie圖的主要思想就是強行把一棵樹變成圖將x為空的兒子指標s[i]指向x的fail指標的s[i]，相當於直接把fail樹上的邊加到了Trie樹上.這樣做會使程式碼變得簡潔一些，而且它能很大程度上幫你少跳一些指標（查詢的時候就不用寫while迴圈了，Trie圖只需要跳一次指標就夠了）.
程式碼如下：
void Get_fail(){ //注意程式碼中Trie樹的根編號為0
for (int i=0;i<C;++i) //初始不能直接push一個根，不然會導致第二層節點的fail指標指向自己
if (tr[0].s[i]) q.push(tr[0].s[i]);
while (!q.empty()){
int x=q.front();q.pop();
for (int i=0;i<26;++i)
if (!tr[x].s[i]) tr[x].s[i]=tr[tr[x].fail].s[i];
else tr[tr[x].s[i]].fail=tr[tr[x].fail].s[i],q.push(tr[x].s[i]);
}
}
五.查詢.
接下來的查詢以查詢每一個串是否出現為例.
查詢最樸素的想法就是直接暴力在每一個點跳fail指標匹配，然而這樣做是沒有效率保證的.
考慮對於fail樹，發現只要一個節點到根這一段可以匹配時，它的兒子同樣也會被匹配.所以我們只需要記錄Trie樹上每一個點是否被匹配當做一個標記，處理完之後在fail樹把父親的標記下傳就可以了.
程式碼如下：
LL Query(char *c,int len){
int x=0;
for (int i=1;i<=len;++i){
while (x&&!tr[x].s[c[i]-'a']) x=tr[x].fail;
x=tr[x].s[c[i]-'a'];
b[x]=1;
}
LL ans=0;
for (int i=co;i>=1;--i)
if (b[ord[i]]){ //ord陣列是fail樹的bfs序
b[ord[i]]=0;
b[tr[ord[i]].fail]=1;
ans+=LL(tr[ord[i]].cnt);
}
return ans;
}
六.時間複雜度分析.
這裡主要分析fail指標構造的時間複雜度.
我們考慮BFS時fail指標跳動的總次數，與KMP類似的，我們發現每跳一次fail指標都會使得深度減1，而深度最多增加串長次.所以對於Trie樹中插入的每一個串構造fail指標時間複雜度都是與串長同級的，設總共往Trie中插入了n個字元，構造fail指標的總時間複雜度就是 的.
同樣的，在查詢串的時候外層列舉i的時間複雜度為
，也就是說深度最多增長了m次，所以fail指標的跳動次數最多也是m次，總時間複雜度就是
.但是由於後面我們還需要遍歷一遍Trie樹，所以一次查詢總時間複雜度為
.
七.例題與程式碼.
題目1：hdu2222.
程式碼如下：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define Abigail inline void
typedef long long LL;
#define m(a) memset(a,0,sizeof(a))
const int C=26,M=1000000;
struct Trie{
int s[C],cnt,fail;
Trie(){m(s);cnt=fail=0;}
}tr[M+9];
int cn;
void Build(){tr[cn=0]=Trie();}
void Insert(char *c,int len){
int x=0;
for (int i=1;i<=len;++i)
if (tr[x].s[c[i]-'a']) x=tr[x].s[c[i]-'a'];
else {
tr[x].s[c[i]-'a']=++cn;
tr[x=cn]=Trie();
}
++tr[x].cnt;
}
queue<int>q;
int ord[M+9],co; //ord記錄的是fail樹的bfs序
void Get_fail(){ //注意程式碼中Trie樹的根編號為0
ord[co=1]=0;
for (int i=0;i<C;++i) //初始不能直接push一個根，不然會導致第二層節點的fail指標指向自己
if (tr[0].s[i]) q.push(tr[0].s[i]);
while (!q.empty()){
int x=q.front(),t;q.pop();
ord[++co]=x;
for (int i=0;i<C;++i)
if (tr[x].s[i]){
t=tr[x].fail;
while (t&&!tr[t].s[i]) t=tr[t].fail;
tr[tr[x].s[i]].fail=tr[t].s[i];
q.push(tr[x].s[i]);
}
}
}
int b[M+9];
LL Query(char *c,int len){
int x=0;
for (int i=1;i<=len;++i){
while (x&&!tr[x].s[c[i]-'a']) x=tr[x].fail;
x=tr[x].s[c[i]-'a'];
b[x]=1;
}
LL ans=0;
for (int i=co;i>=1;--i)
if (b[ord[i]]){
b[ord[i]]=0;
b[tr[ord[i]].fail]=1;
ans+=LL(tr[ord[i]].cnt);
}
return ans;
}
int n,m;
char c[M+9];
Abigail into(){
Build();
scanf("%d",&n);
for (int i=1;i<=n;++i){
scanf("%s",c+1);
m=strlen(c+1);
Insert(c,m);
}
scanf("%s",c+1);
m=strlen(c+1);
}
Abigail work(){
Get_fail();
}
Abigail outo(){
printf("%lld\n",Query(c,m));
}
int main(){
int T=1;
scanf("%d",&T);
while (T--){
into();
work();
outo();
}
return 0;
}
應該還有一種Trie圖寫法，程式碼不願意寫了.
題目2：luogu3808.
程式碼如下：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define Abigail inline void
typedef long long LL;
#define m(a) memset(a,0,sizeof(a))
const int C=26,M=1000000;
struct Trie{
int s[C],cnt,fail;
Trie(){m(s);cnt=fail=0;}
}tr[M+9];
int cn;
void Build(){tr[cn=0]=Trie();}
void Insert(char *c,int len){
int x=0;
for (int i=1;i<=len;++i)
if (tr[x].s[c[i]-'a']) x=tr[x].s[c[i]-'a'];
else {
tr[x].s[c[i]-'a']=++cn;
tr[x=cn]=Trie();
}
++tr[x].cnt;
}
queue<int>q;
int ord[M+9],co; //ord記錄的是fail樹的bfs序
void Get_fail(){ //注意程式碼中Trie樹的根編號為0
ord[co=1]=0;
for (int i=0;i<C;++i) //初始不能直接push一個根，不然會導致第二層節點的fail指標指向自己
if (tr[0].s[i]) q.push(tr[0].s[i]);
while (!q.empty()){
int x=q.front(),t;q.pop();
ord[++co]=x;
for (int i=0;i<C;++i)
if (tr[x].s[i]){
t=tr[x].fail;
while (t&&!tr[t].s[i]) t=tr[t].fail;
tr[tr[x].s[i]].fail=tr[t].s[i];
q.push(tr[x].s[i]);
}
}
}
int b[M+9];
LL Query(char *c,int len){
int x=0;
for (int i=1;i<=len;++i){
while (x&&!tr[x].s[c[i]-'a']) x=tr[x].fail;
x=tr[x].s[c[i]-'a'];
b[x]=1;
}
LL ans=0;
for (int i=co;i>=1;--i)
if (b[ord[i]]){
b[ord[i]]=0;
b[tr[ord[i]].fail]=1;
ans+=LL(tr[ord[i]].cnt);
}
return ans;
}
int n,m;
char c[M+9];
Abigail into(){
Build();
scanf("%d",&n);
for (int i=1;i<=n;++i){
scanf("%s",c+1);
m=strlen(c+1);
Insert(c,m);
}
scanf("%s",c+1);
m
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efi con sig http ati code fine mod long
/**
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詳見lrj訓練指南P216
*/
#include<bits/stdc++.h>
usi
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/**
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