我這裡說的Fibonacci數列不僅僅是f(n-1) + f(n-2)的情況，也可以是f(n-1) + f(n-2) + … + f(n-k)的情況。但是這裡我們用f(n-1) + f(n-2)來進行討論，簡化理解，舉一反三。

解法一，遞迴

實現非常簡單。

int fibonacci(int i){
    if(i==0){
      return 0;
    }else if(i==1){
      return 1;
    }else {
      return fibonacci(i-1)+fibonacci(i-2);
    }
  }
}

解法二，動態規劃

核心程式碼如下：

    long array[]=new long [n+1];
    array[0]=0;
    array[1]=1;
    for(int i=2;i<n+1;i++){
      array[i]=array[i-1]+array[i-2];
    }

這種解法與遞迴解法相比，具有非常大的效能提升。

解法三，動歸優化

將空間優化到O(1)：

int fib(int n) {  
    int last, nextToLast, answer = 0;  
    if (n <= 1) {  
        return
 
 1;  
    }  
    last = nextToLast = 1;  
    for (int i = 0; i < n; i++) {  
        //f(n)=f(n-1)+f(n-2)  
        answer = last + nextToLast;  
        //f(n-2)=f(n-1)  
        nextToLast = last;  
        //f(n-1)=f(n)  
        last = answer;  
    }  
    return answer;  
} 

解法四，特殊解法

這種解法可以將時間複雜度優化到O(logn)，牛客網的左老師書上講的非常清楚，這裡直接藉助過來以供參考：

/*
下面介紹一種時間複雜度是O(logn)的方法:

對於斐波那契數列1,1,2,3,5,8,13…….有如下定義:

F( n ) = F( n-1 ) + F( n-2 )
F( 1 ) = 1
F( 2 ) = 1

矩陣形式：

[ F( n+1 ) ,  F( n ) ] = [ F( n ) , F( n-1 ) ] * Q  其中 [ F( n+1 ) ,  F( n ) ]為行向量，Q = { [ 1, 1 ]; [ 1, 0 ] }為矩陣

則 [ F( n+1 ) , F( n ) ]=[ 1 , 0 ] * Qn , 
*/

struct Matrix    
{          
       long long m_00, m_01, m_10, m_11;   
　　 Matrix ( long long m00 = 0,  long long m01 = 0,  long long m10 = 0,   long long m11 = 0 )    
       :m_00( m00 ), m_01( m01 ), m_10( m10 ), m_11( m11 )     
       {    
       }    
};


Matrix MatrixMultiply (  const Matrix & m1, const Matrix & m2    ）    
{  
　　long long m00 = m1.m_00 * m2.m_00 + m1.m_01 * m2.m_10;
　　long long m01 = m1.m_00 * m2.m_01 + m1.m_01 * m2.m_11; 
　　long long m10 = m1.m_10 * m2.m_00 + m1.m_11 * m2.m_10    
　　long long m11 = m1.m_10 * m2.m_01 + m1.m_11 * m2.m_11; 
      return Matrix ( m00,  m01,  m10, m11 );    
}

Matrix MatrixPower( unsigned int n )    
{    
       assert(n > 0);    
       Matrix m;    
       if( n == 1)    
       {    
             m = Matrix(1, 1, 1, 0);    
       }    
      else if(n % 2 == 0)    
       {    
             m = MatrixPower( n / 2 );    
             m = MatrixMultiply( matrix, matrix );    
       }    
      else if( n % 2 == 1 )    
       {    
             m = MatrixPower( (n - 1) / 2 );    
             m = MatrixMultiply( m, m );    
             m = MatrixMultiply( m, Matrix( 1, 1, 1, 0 ) );    
       }     
      return m;    
}  
long long Fibonacci( unsigned int n )
{
      int result[2] = { 0, 1 };
      if( n < 2 )
            return result[ n ];

      Matrix Q = MatrixPower( n - 1 );　　//注意：按定義式應該用[ 1, 0 ]*Q, 或者等價於{ [ 1 , 0 ]; [ 0, 0 ] }*Q, 但是因為顯然結果相同，所以略去這一步。
      return Q.m_00;
}

總結

我覺得Fibonacci數列對於理解動態規劃也是非常重要，動態規劃的本質就是在遞迴中優化而來的。
Fibonacci問題還可以用來解上臺階問題，硬幣面值組合問題。