正題

      不能再半途而廢了。

      讓我們現在開始講一下Matirx-Tree定理。

      其實這個定理是用來解決關於“用圖建樹的方案樹”之類的問題的。

      首先我們要了解幾個定理及其證明。

      1.我們定義一個n*n的矩陣A，它的行列式為

      p是1到n的一個排列，laowang(p)指的是其中的逆序對個數。其實就是排列一個p使得後面行列不相交

      2.那我們根據定義式，就可以知道，任意交換兩行i，j，行列式就會乘上-1.

      因為交換i，j兩行的時候，其他的行都是不變的，我們把這單獨兩行提出來，就會發現逆序對的改變都會恰好

      3.接著，我們還要推導一個東西，當有兩行一樣時，行列式為0.

      比如說這兩行是i，j，首先不討論這兩行，也就是說把這兩行先提出來，我們就會發現，當時，我們可以知道，行列式的符號是不用改變的，因為不存在逆序對，也就是說行列式是，而當的時候，行列式的符號改變了，所以行列式是，又因為i,j兩行完全相同，所以說，加/減的東西也相同。

      4.下一個，當一行的數全部乘上了一個k，行列式也乘上k。

      顯然的，你直接把中間某一項乘k，再把k提出來即可。

      5.當某一行是另一行的k倍，行列式為0.（k!=0）

      比如說我們當前的行列式是det，把一行乘k，行列式為k*det，又因為現在兩行都相同，所以k*det=0，又因為k！=0 ，所以det必為0.

      6.當某一行加上另一行的k倍時，行列式不變。

      因為行列式具有簡單的"分配律"，你給第i行都加上第j行的k倍（逐位加），就相當於，把整個矩陣的複製一遍，把其中第i行挖空，再填入第j行的k，然後把兩個矩陣的行列式相加，這樣很明顯是可以成立的，因為相當於你把第i行拆開來罷了。

      我們就可以用第6條定理完成求解行列式。

      怎麼求呢。。。

      首先我們要有一個構造的n*n的矩陣。

      像上面這個圖，空出的位置都是0，現在我們如何利用第6條定理，把他轉化為下圖呢？

      黃色表示有數，0表示這個數字為0，很多人想問為什麼要化成這個樣子，因為這時，行列式就是對角線的乘積，即為

      所以我們試著去構造這樣一個矩陣

for(int j=1;j<=n;j++){
        for(int i=j+1;i<=n;i++)
            while(d[i][j]){
                long long temp=d[j][j]/d[i][j];
                for(int k=j;k<=n;k++)
                    d[j][k]=(d[j][k]-d[i][k]*temp%Mod+Mod)%Mod,swap(d[j][k],d[i][k]);
                ans*=-1;
            }
        ans*=d[j][j];
        ans%=Mod; 
    }

      我們試著輾轉相除來解決這個問題，因為一行可以加上或減去另一行的k倍，所以我們聯想到了輾轉相除。我們不斷地拿第j行第j列中的元素出來，讓它與下面的元素比較，直到把他下面的全部變為0。那我們一個一個操作，對於d[j][j]和d[i][j]（i>=j+1）

      我們不斷將兩行輾轉相除，並且交換，交換的代價就是-1；

      最後我們把對角線乘起來就是答案。

拓展

      我們光知道這個還不行，我們還需要知道這個東西可以解決什麼問題。

     無向圖

      1.n個點m條邊的一張沒有重邊，沒有子環的圖，保證聯通，求生成樹個數。

      我們構造一個n*n的矩陣A，對於A[i][j]來說，當 i==j 時，A[i][j]存的是i點的度數（無向圖）。當i != j 時，存的是i，j之間是否有邊，有邊為-1，沒邊就是0.

       然後我們把任意的第i行和第i列挖掉，把剩下的向左上對齊，求剩下矩陣的行列式即可。（我太菜了，不知道證明）。

      有向圖

      2.求外向樹，把d[i][i]改成一個點的入度即可。

      3.求內向樹，把d[i][i]改成一個點的出度即可。

      當然要像無向圖那樣存邊和求行列式。

       呼啊，說完了