題目：

在上面的數字三角形中尋找一條從頂部到底邊的路徑，使得路徑上所經過的數字之和最大。路徑上的每一步都只能往左下或右下走。只需要求出這個最大和即可，不必給出具體路徑。三角形的行數大於1小於等於100，數字為 0 - 99。

輸入格式：
5//三角形行數。下面是三角形
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5
要求輸出最大和

解題思路：
用二維陣列存放數字三角形。
D( r, j) : 第r行第 j 個數字(r,j從1開始算)
MaxSum(r, j) : 從D(r,j)到底邊的各條路徑中，最佳路徑的數字之和。
問題轉化為求 MaxSum(1,1)，這是典型的遞迴問題。D(r, j)出發，下一步只能走D(r+1,j)或者D(r+1, j+1)。所以有了下面的第一種方法

方法一：遞迴求解

#include<iostream>
using namespace std;

const int maxn = 101;
int D[maxn][maxn];                  //儲存三角形中第i行第j列的數值，i、j均從1開始
int n;                              //三角形行數

int maxSum(int i, int j){           //從D(i,j)到底邊的各條路徑中，最佳路徑的數字之和。
    if(i == n)                      //D(i,j)就在三角形底邊上
        return D[i][j];
    int x = maxSum(i+1,j);
    int y = maxSum(i+1,j+1);
    return max(x,y)+D[i][j];        //D(i,j)到底邊最優解
}

int main(){
    cin >> n;
    for(int i=1; i<=n; i++)
        for(int j=1; j<=i; j++)
            cin>>D[i][j];
    cout<<maxSum(1,1)<<endl;        //從三角形頂點到底邊最優解
    return 0;
}
 

對第一種方法的改進：如果每算出一個MaxSum(r,j)就儲存起來，下次用到其值的時候直接取用，則可免去重複計算。那麼可以用O(n2)時間完成計算。因為三角形的數字總數是 n(n+1)/2。

方法二：記憶遞迴型動歸程式（對方法一的改進）

#include<iostream>
using namespace std;

const int maxn = 101;
int sum[maxn][maxn];                //儲存已經算出的maxSum值
int D[maxn][maxn];
int n;

int maxSum(int i, int j){           //從D(i,j)到底邊的各條路徑中，最佳路徑的數字之和。
    if(sum[i][j] != -1)             //此maxSum已算出過
        return sum[i][j];
    if(i == n)
        sum[i][j] = D[i][j];
    else{
        int x = maxSum(i+1,j);
        int y = maxSum(i+1,j+1);
        sum[i][j] = max(x,y)+D[i][j];
    }
    return sum[i][j];
}

int main(){
    cin >> n;
    for(int i=1; i<=n; i++)
        for(int j=1; j<=i; j++){
            cin>>D[i][j];
            sum[i][j] = -1;         //均初始化為-1
        }
    cout<<maxSum(1,1)<<endl;
    return 0;
}
 

方法二就有點囉嗦，我們現在不用遞迴，直接用遞推，也即動態規劃。在此方法中，從最底層往上層一層一層遞推求出當前最優解。程式碼如下。

方法三：動態規劃

#include<iostream>
using namespace std;
const int maxn = 101;
int n;
int D[maxn][maxn];
int maxSum[maxn][maxn];         //從D(i,j)到底邊的各條路徑中，最佳路徑的數字之和。
int main(){
    cin >> n;
    for(int i=1; i<=n; i++)
        for(int j=1; j<=i; j++)
            cin >> D[i][j];
    for(int i=1; i<=n; i++)
        maxSum[n][i] = D[n][i];
    for(int i=n-1; i>=1; i--)
        for(int j=1; j<=i; j++)
            maxSum[i][j] = max(maxSum[i+1][j],maxSum[i+1][j+1]) + D[i][j];
    cout << maxSum[1][1] <<endl;
    return 0;
}

在方法三種，我們用了二維陣列儲存當前最優解，但實際上往上層遞推求解的過程中，我們只會用到下一層的資料，之前的結果都沒有用處了。所以只要一維陣列maxSum[100]即可。進一步考慮，連maxSum陣列都可以不要，直接用D的第n行替代maxSum即可。得到如下方法。

方法四：動態規劃(二)   ( 推薦！)

#include<iostream>
using namespace std;
const int maxn = 101;
int n;
int D[maxn][maxn];
int main(){
    cin >> n;
    for(int i=1; i<=n; i++)
        for(int j=1; j<=i; j++)
            cin >> D[i][j];
    int *maxSum = D[n];             //maxSum指向第n行，利用第n行的空間儲存結果
    for(int i=n-1; i>=1; i--)
        for(int j=1; j<=i; j++)
            maxSum[j] = max(maxSum[j],maxSum[j+1]) + D[i][j];
    cout << maxSum[1] <<endl;
    return 0;
}