0. 資料結構圖文解析系列

1. 二分查詢簡介

二分查詢大家都不陌生，可以說除了最簡單的順序查詢之外，我們第二個接觸的查詢演算法就是二分查找了。順序查詢的時間複雜度是O(n)，二分查詢的時間複雜度為O(logn)。在面試中二分查詢被考察的概率還是比較高的，上次去面試時就遇到手寫二分查詢的題目。二分查詢不難，但我們要能做到準確、快速地寫出二分查詢的程式碼，能對二分查詢的效率做出分析，還能夠將二分查詢的思想來解決其他的問題。

1.1 二分查詢過程圖解

二分查詢要求序列本身是有序的。因此對於無序的序列，我們要先對其進行排序。現在我們手頭有一有序序列：
array[10] = {2,4,5,7,,8,9,13,23,34,45}，則二分查詢的過程為：

• 設定三個索引：start指向陣列待查範圍的起始元素，end指向陣列待查範圍的最後一個元素，middle=(start+end)/2。開始時待查範圍為整個陣列。
• 比較array[middle]與查詢元素的大小關係：
  • 如果array[middle]等於查詢元素，則查詢成功
  • 如果array[middle]大於查詢元素，則說明待查元素在陣列的前半部分，此時縮小待查範圍，令end = middle-1
  • 如果array[middle]小於查詢元素，則說明待查元素在陣列的後半部分，此時縮小待查範圍，令start = middle +1
• 重複執行前面兩步，直到array[middle ] 等於查詢元素則查詢成功或start>end查詢失敗。

現在我們在陣列{2,4,5,7,,8,9,13,23,34,45}中查詢元素23，過程如圖：

可見，每一次元素比較都可以把待查範圍縮小1/2，因此二分查詢的時間複雜度為o(logn)。

1.2 二分查詢實現程式碼

二分查詢程式碼簡單，可以遞迴或迭代地實現。遞迴容易實現，程式碼簡單，但待查元素數量巨大時，遞迴深度也隨之增大(logn的關係)，應考慮是否會發生棧溢位。迭代的實現也不復雜，但我們力求準確簡潔。

遞迴實現

//查詢成功時返回查詢元素在陣列中的下標；查詢失敗時返回-1
template <typename T>
int BinarySearch(const T array[], int start, int end, const T& value)
{
    if (start>end)
        return -1;
    int middle = (start + end) / 2;
    if (array[middle] == value)
        return middle;
    if (array[middle] < value)
    {
        return BinarySearch(array, middle+1, end, value);
    }
    return BinarySearch(array, start, middle-1, value);
};
 

迭代實現

template <typename T>
int BinarySearch(const T array[], int start, int end, const T& value)
{
    int result = -1;
    while (start <= end)
    {
        int middle = (start + end) / 2;
        if (array[middle] == value)
        {
            result = middle;
            break;
        }
        if (array[middle] < value)
        {
            start = middle + 1;
        }
        else
            end = middle - 1;
    }
    return result;
}

測試

為了方便使用者使用，我們定義一個介面：

//使用者使用介面
template <typename T>
int BinarySearch(const T array[], int length, const T& value)
{
    if (array == nullptr || length <= 0)
        return -1;
    return BinarySearch(array, 0, length - 1, value);
}

使用例項：

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
    int array[10] = { 2, 4, 5, 7, 8, 9, 13, 23, 34, 45 };
    int i;
    while (cin >> i)
    {
        cout << BinarySearch(array, 10, i) << endl;
    }
    return 0;
}

2. 二分查詢的應用

2.1 二分插入排序

這是對直接插入排序的一種優化策略，能夠有效減少插入排序的比較次數。
直接插入排序的思路是對於無序序列的第一個元素，從後至前進行順序查詢 掃描有序序列尋找合適的插入點。改進後的二分插入排序演算法使用二分查詢在有序序列中查詢插入點，將插入排序的比較次數降為O(log2n)。這個思路的實現程式碼為：

/*二分查詢函式，返回插入下標*/
template <typename T>
int BinarySearch(T array[], int start, int end, T k)
{
    while (start <= end)
    {
        int middle = (start + end) / 2;
        int middleData = array[middle];
        if (middleData > k)
        {
            end = middle - 1;
        }
        else
            start = middle + 1;
    }
    return start;
}
//二叉查詢插入排序
template <typename T>
void InsertSort(T array[], int length)
{
    if (array == nullptr || length < 0)
        return;
    int i, j;
    for (i = 1; i < length; i++)
    {
        if (array[i]<array[i - 1])
        {
            int temp = array[i];
            int insertIndex = BinarySearch(array, 0,i, array[i]);//使用二分查詢在有序序列中進行查詢，獲取插入下標
            for (j = i - 1; j>=insertIndex; j--) //移動元素
            {
                array[j + 1] = array[j];  
            }      
            array[insertIndex] = temp;    //插入元素
        }
    }
}

2.2 旋轉陣列的最小數字問題

問題描述：把一個數組最開始的若干個元素搬到陣列的末尾，我們稱為陣列的旋轉，輸入一個遞增排序陣列的一個旋轉，輸出旋轉陣列的最小元素。例如陣列{4，5，6，1，2，3}為陣列 {1，2，3，4，5，6}的一個旋轉，最小旋轉元素為1.

解決思路：
尋找陣列中最小的元素，我們可以遍歷陣列，時間複雜度為O(n)。但是藉助二分查詢的思想，我們能夠在O（logn）的時間複雜度內找到最小的元素。旋轉陣列的特點是陣列中兩個部分都分別是有序的，以{4，5，6，1，2，3}為例，{4，5，6}是非遞減的，{1，2，3}也是非遞減的：

我們可以定義兩個索引：start指向第一部分的起始位置；end指向第二部分的最後一個元素，如圖所示。由於陣列在旋轉前整體有序，故array[start]>=array[end]，而中間值array[middle]滿足：

• 如果array[middle]>array[start] ,則array[middle]屬於第一部分。此時令start= middle ；
• 如果array[middle]<array[start] ,則array[middle]屬於第二部分。此時令end = middle ；

迴圈執行上述操作，當start與end相鄰時，end所指便是陣列中的最小元素：

end所指元素便是最小元素。
這個定址的過程有一個隱喻的要求:中間這個元素必須能夠判斷它是屬於第一部分還是第二部分。在有些輸入下，這個要求不能滿足，例如陣列：{0,1,1,1,1},它的兩個選擇陣列為：

• {1,0,1,1,1}
• {1,1,1,0,1}

此時因array[middle] == array[start] == array[end] 而無法判斷array[middle]屬於哪一部分，我們只能進行順序查詢找出最小元素。

如圖：

此時無法確定array[middle]是屬於第一部分還是第二部分，這種情況下我們需要進行順序查詢。
因此，我們的程式碼實現為：

//順序查詢函式
int Min(int array[], int length)
{
    int result = array[0];
    for (int i = 1; i < length; i++)
    {
        if (array[i] < result)
            result = array[i];
    }
    return result;
}
 
int MinInRotation(int array[],int length)
{
    int result = -999;
    if (array == nullptr || length < 0)
        return result;
    int start = 0;
    int end = length - 1;
    int middle = start;
    while (start < end)
    {
        if (start + 1 == end)
        {
            result = array[end];
            break;
        }
        middle = (start + end)/2;
        //如果遇上特殊情況，則需要進行順序查詢
        if (array[middle] == array[start] && array[middle] == array[end])
            return Min(array,length); //呼叫順序查詢函式
        //否則；中間元素屬於第一部分
        if (array[middle]>=array[start])
        {
            start = middle;
        }//中間元素屬於第二部分
        else if (array[middle] <= array[start])
        {
            end = middle;
        }
    }
    return result;
}

測試程式碼：

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
    int array1[6] = { 4, 5, 6, 1, 2, 3 };
    int array2[5] = { 1, 0, 1, 1, 1 };
    int array3[5] = { 1, 1, 1, 0, 1 };
    cout << MinInRotation(array1, 6)<<endl;
    cout << MinInRotation(array2, 5) << endl;
    cout << MinInRotation(array3, 5) << endl;
 
    getchar();
    return 0;
}

執行結果：

1
0
0

2.3 數字在排序陣列中出現次數問題

問題描述：統計一個數組在排序陣列中出現的次數。例如輸入排序陣列{1，2，3，3，3，3，4，5}和數字3，由於3在陣列中出現了4次，因此輸出4.

解決思路：假設我們是統計數字k在排序陣列中出現的次數，只要找出排序陣列中第一個k與最後一個k的下標，就能夠計算出k的出現次數。
尋找第一個k時，利用二分查詢的思想，我們總是拿k與陣列的中間元素進行比較。如果中間元素比k大，那麼第一個k只有可能出現在陣列的前半段；如果中間元素等於k，我們就需要判斷k是否是前半段的第一個k，如果k前面的元素不等於k，那麼說明這是第一個k；如果k前面的元素依舊是k，那麼說明第一個k在陣列的前半段中，我們要繼續遞迴查詢。

這個過程的程式碼：

int getFirstIndex(int array[], int start ,int end, int k)
{
    if (start > end)
        return -1;
    int middle = (start + end) / 2;
    int middleData = array[middle];
    if (middleData == k)
    {
        if (middle == 0 || array[middle - 1] != k)
            return middle;
        else
            end = middle - 1;
    }
    else if (middleData>k)
    {
        end = middle - 1;
    }
    else
        start = middle + 1;
    return getFirstIndex(array, start, end, k);
}

同樣的思路，我們在陣列中尋找最後一個k，如果中間元素比K大，那麼k只能出現在陣列的後半段；如果中間元素比K小，那麼K只能出現在陣列的前半段。如果中間元素等於k，而k後面的元素等於k，那麼最後一個k只能在後半段出現；否則k為陣列中最後的一個k。

程式碼如下：

///獲取最後一個K的下標
int getLastIndex(int array[], int start,int end,int length, int k)
{
    if (start > end)
        return -1;
    int middle = (start + end) / 2;
    int middleData = array[middle];
    if (middleData == k)
    {
        if (middle == length-1 || array[middle+ 1] != k) //最後一個k
            return middle;
        else
            start = middle + 1;
    }
    else if (middleData>k)
    {
        end = middle - 1;
    }
    else
        start = middle + 1;
    return getLastIndex(array, start, end,length, k);
}

把第一個座標與最後一個座標算出來後，我們可以進行元素出現次數的計算：

//計算元素出現個數
int CountKInArray(int array[], int length, int k)
{
    int result=-1;
    if (array != nullptr && length > 0)
    {
        int firstPos = getFirstIndex(array, 0, length - 1, k);
        int lastPos = getLastIndex(array, 0, length - 1, length, k);
        if (firstPos != -1 && lastPos != -1)
        {
            result = lastPos - firstPos+1;
        }
    }
    return result;
}

測試：

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
    int array[8] = { 1, 2, 3, 3, 3, 4, 5 };
 
    cout << "陣列array中數字3出現的次數為："<<CountKInArray(array, 7, 3) << endl;
    getchar();
    return 0;
}

執行結果：

陣列array中數字3出現的次數為：3