前面講述了利用貪心演算法求解最短路徑的兩種演算法，分別是BFS以及Dijkstra演算法。接下來要介紹的這種是一種動態規劃的演算法——弗洛伊德演算法。

用通俗的語言來描述的話，首先我們的目標是尋找從點i到點j的最短路徑。從動態規劃的角度看問題，我們需要為這個目標重新做一個詮釋。從任意節點i到任意節點j的最短路徑不外乎2種可能，1是直接從i到j，2是從i經過若干個節點k到j。所以，我們假設Dis(i,j)為節點u到節點v的最短路徑的距離，對於每一個節點k，我們檢查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立，如果成立，證明從i到k再到j的路徑比i直接到j的路徑短，我們便設定Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，這樣一來，當我們遍歷完所有節點k，Dis(i,j)中記錄的便是i到j的最短路徑的距離。

演算法描述：

1. 從任意一條單邊路徑開始。所有兩點之間的距離是邊的權，如果兩點之間沒有邊相連，則權為無窮大，這也是所謂的初始化工作；
2. 對於每一對頂點 u 和 v，看看是否存在一個頂點 w 使得從 u 到 w 再到 v 比己知的路徑更短。如果是更新它。

以下圖為例，對Floyd 演算法進行演示。

首先是演算法的初始狀態：矩陣S是記錄各個頂點間最短路徑的矩陣。

第1步：
初始化S。矩陣S中頂點a[i][j]的距離為頂點i到頂點j的權值；如果i和j不相鄰，則a[i][j]=∞。實際上，就是將圖的原始矩陣複製到S中。
注:a[i][j]表示矩陣S中頂點i(第i個頂點)到頂點j(第j個頂點)的距離。

第2步：
以頂點A(第1個頂點)為中介點，若a[i][j] > a[i][0]+a[0][j]，則設定a[i][j]=a[i][0]+a[0][j]。
以頂點a[1][6]，上一步操作之後，a[1][6]=∞；而將A作為中介點時，(B,A)=12，(A,G)=14，因此B和G之間的距離可以更新為26。
同理，依次將頂點B,C,D,E,F,G作為中介點，並更新a[i][j]的大小。

下面我們給出實現的程式碼：

public class MatrixUDG {
    private int mEdgNum;        // 邊的數量
    private char[] mVexs;       // 頂點集合
 

    private int[][] mMatrix;    // 鄰接矩陣
    private static final int INF = Integer.MAX_VALUE;   // 最大值

    ...//省略部分程式碼

    /**
    * floyd最短路徑。
    * 即，統計圖中各個頂點間的最短路徑。
    * 引數說明：
    * path -- 路徑。path[i][j]=k表示，"頂點i"到"頂點j"的最短路徑會經過頂點k。
    * dist -- 長度陣列。即，dist[i][j]=sum表示，"頂點i"到"頂點j"的最短路徑的長度是sum。
    */
    public void floyd(int[][] path, int[][] dist) {

        // 初始化
        for (int i = 0; i < mVexs.length; i++) {
            for (int j = 0; j < mVexs.length; j++) {
                dist[i][j] = mMatrix[i][j];    // "頂點i"到"頂點j"的路徑長度為"i到j的權值"。
                path[i][j] = j;                // "頂點i"到"頂點j"的最短路徑是經過頂點j。
            }
        }

        // 計算最短路徑
        for (int k = 0; k < mVexs.length; k++) {
            for (int i = 0; i < mVexs.length; i++) {
                for (int j = 0; j < mVexs.length; j++) {

                    // 如果經過下標為k頂點路徑比原兩點間路徑更短，則更新dist[i][j]和path[i][j]
                    int tmp = (dist[i][k]==INF || dist[k][j]==INF) ? INF : (dist[i][k] + dist[k][j]);
                    if (dist[i][j] > tmp) {
                        // "i到j最短路徑"對應的值設，為更小的一個(即經過k)
                        dist[i][j] = tmp;
                        // "i到j最短路徑"對應的路徑，經過k
                        path[i][j] = path[i][k];
                    }
                }
            }
        }

        // 列印floyd最短路徑的結果
        System.out.printf("floyd: \n");
        for (int i = 0; i < mVexs.length; i++) {
            for (int j = 0; j < mVexs.length; j++)
                System.out.printf("%2d  ", dist[i][j]);
            System.out.printf("\n");
        }
    }
}

下面分別給出“鄰接矩陣圖“和“鄰接表圖”的弗洛伊德原始碼。