之前做的一些就不記錄了，只記錄現在開始做的一些題。

T0. 入門題

給一個有向無環圖，每次等概率走某一條邊，求從1走到n的邊權和的期望。

做法1，直接設dp[x]表示答案，轉移顯然。

做法2，考慮從定義入手分析出一種做法。期望的定義是E=sigma Pi*Wi，就是Wi出現的概率乘上他自己。

本題中即Answer(G) = simga { P(p_i)*W(p_i) }，p_i表示一條路徑，P(p_i)表示走p_i的概率，顯然有：

P(p_i)=1/|p|，其中p是路徑集合，|p|是其大小。現在P(p_i)有了，W(p)呢？

注意到若將路徑p_i寫成邊的有序序列p_i = <e_1, e_2, e_3, ... , e_|p_i|>，並設w(e)表示e的邊權，有：

W(p_i)=sigma { w(e_j) } , 1<=j<=|p_i|。代入Answer(G)可知Answer(G) = sigma { sigma { w(e_j) } / |p| } = sigma { sigma { w(e_j) } } /|p|。

其中第一層sigma列舉的是路徑，第二層列舉的是路徑上的邊。顯然答案會是一個邊權乘上他在式子中出現的次數，求和，再除以|p|.

記邊i的係數是a_i，即Answer(G) = sigma { a_i * w(e_i) /|p| }。

考慮a_i的計算，這等價於有多少路徑經過邊e_i，顯然這等價於有多少條路徑經過這條邊的起點u。這個是可以遞推的。

T1. cf518D

大意，有一個佇列。每一個時刻有p的概率彈出隊首元素，(1-p)的概率啥事也不做。求T秒後彈出佇列的元素期望。

兩種做法，第一種，注意到僅僅設dp[t]表示答案是不行的，因為並不能遞推。

考慮令dp[i][j]表示前i秒恰好j個元素彈出的概率（即第i秒彈出第j個元素），那麼答案看起來就應該是

sigma dp[i][j]*j。（儘管不是，但是也差不多了，只差了一些細節）

這個轉移看起來是顯然的，即你列舉上一次彈出的時刻，然後中間乘起來即可，這個轉移需要優化；

但其實有一個更簡單的轉移方法，即設f[i][j]表示前i秒彈出j個人但並不要求第j個是第i個彈出的；

那麼顯然有f[i][j]=p*f[i-1][j-1]+(1-p)*f[i-1][j]，然後dp[i][j]=p*f[i-1][j-1]。

計算答案的時候分兩種情況，第一種是在t秒內彈出全部的n個元素，答案是sigma dp[i][n]*n

第二種是在i(i<t)秒內彈出j(j<n)個元素，此時要求彈出第j個元素之後不再彈出，因此概率還要乘上(1-p)^(t-i)。

兩部分相加即可。

做法2，待補。