HDU - 5728

求 K=∑i=1mϕ(i∗n)mod1000000007
其中 n是 square-free number
求 ans=KKKK..modp

先求 K
由於 ϕ(n)是積性函式，所以對於 n的每個素因子可以提出來計算
∑i=1mϕ(i×n)=(pk−1)×∑i=1mϕ(i×npk)+∑i=1mpkphi(i×n)
對於素因子 pk，如果 i中不包含這個因子，提出來是 ϕ(pk)=pk−1
如果 i中包含這個因子，那麼提出來就是 pk，所以在後面加上多減的這一項
而 1到 m中共有 mpk個包含 pk的 i，為 1×pk、2×pk…
他們除以 pk後是 1

再求 ans
利用尤拉定理降冪
ax=ax%ϕ(p)+ϕ(p)modp
遞迴計算，ϕ(p)很快就變成 1了，所以複雜度不會超過 (logN)

另外在尤拉函式打表那塊，由於 N有 107 ，最好用 (N)的尤拉篩
不然容易 TLE （雖然我用埃氏篩沒 TLE

#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
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#include <iostream>
 

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#include <algorithm>
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#include <set>
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using namespace std;
typedef pair<int,int> Pii;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef
 
 double DBL;
typedef long double LDBL;
#define MST(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define CLR(a) MST(a,0)
#define SQR(a) ((a)*(a))

const int maxn=1e7+10, MOD=1000000007;
int N,M,P;
bool nprim[maxn];
int phi[maxn];
int phi_sum[maxn];
int prime[maxn], pcnt;

void prime_init();
LL SUM(int,int,vector<int>&);
LL PowMod(LL,LL);
LL Pow(LL,LL,LL);

int main()
{
    #ifdef LOCAL
    freopen("in.txt", "r", stdin);
//  freopen("out.txt", "w", stdout);
    #endif

    prime_init();

    while(~scanf("%d%d%d", &N, &M, &P))
    {
        vector<int> fact;
        int tem=N;
        for(int i=0; i<pcnt && prime[i]<=tem; i++) if(tem%prime[i]==0)
        {
            tem/=prime[i];
            fact.push_back(prime[i]);
        }
        LL K = SUM(N,M,fact);
        printf("%lld\n", PowMod(K,(LL)P));
    }
    return 0;
}

LL PowMod(LL k, LL p)
{
    if(p==1) return 0;
    LL tp=PowMod(k,phi[p]);
    LL res = Pow(k,tp+phi[p],p);
    return res;
}

LL Pow(LL x, LL n, LL p)
{
    LL res=1;
    while(n)
    {
        if(n&1) res=res*x%p;
        x=x*x%p;
        n>>=1;
    }
    return res;
}

LL SUM(int n, int m, vector<int>& fact)
{
    if(n==1) return phi_sum[m];
    if(m==1) return phi[n];
    if(m<1)  return 0;
    for(int i=0; i<(int)fact.size(); i++) if(n%fact[i]==0)
        return (SUM( n, m/fact[i], fact) + (LL)(fact[i]-1)*SUM( n/fact[i], m, fact)%MOD)%MOD;
    return 0;
}

void prime_init()
{
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<maxn;i++)
    {
        if(!nprim[i]) {phi[i]=i-1; prime[pcnt++]=i;}
        for(int j=0;j<pcnt;j++)
        {
            if(i*prime[j]>=maxn)break;
            nprim[i*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;
            }
            else
            {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
            }
        }
    }
    for(int i=1; i<maxn; i++) phi_sum[i] = (phi_sum[i-1]+phi[i])%MOD;

}