ans=kkkk.點選打

思路:

很不錯的一個題目,知道求出k之後尤拉降冪遞迴可求,但是仍然無法再符合條件的時間內求出k,化簡了一些式子. 根據尤拉函式的性質可以分成i和n互質不互質兩種情況,然後就不會了...

對於n的質因數,考慮n無平方因子(square-free) ，所以存在gcd（n,n/p）==1.由尤拉函式性質 φ（ab）=φ（a）*φ（b）

解釋一下 φ（i*n*p） p是n的質因子,那麼有: φ（i*n*p）= φ（i*n）*p （由尤拉篩性質可得）.

我們將i分為兩種情況,一種是i和n互質,也就是上面第一種,然後是不互質,就是第二種.主要考慮第二種吧,如果不互質,那麼

該數一定可以化成 k*p,我們上面就是列舉這個k,這樣每次最多有m/p，這樣複雜度下降是log級別的.φ（p）+1 和後面那

展開,因為n和i都有p,所以n再拿出一個p,這是i*p 正好是前面缺少的那部分i,兩者提公因式.

這題目T了好多發,一直再實驗,這裡寫了兩種預處理了n所有的質因子m和直接列舉素數判斷是否為質因子,預處理快了一

倍多.

另外,採用遞迴求的話需要預處理出當n為1的時候的尤拉函式的字首和,而且根據上面的式子找到一個n的素因子即可.

遞迴求無限k就不多說了很簡單

具體見程式碼.

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int maxn = 1e7 + 10;
typedef long long ll;
const ll Mod = 1e9 + 7;
int n,m,p;
bool vis[maxn];
int prime[maxn],phi[maxn];
ll sum[maxn];
int vt[maxn];
int num,cnt;
void init()
{
	phi[1] = 1;
	 cnt = 0;
	for(int i = 2;i < maxn;i++)
	{
		if(!vis[i])
		{
			prime[cnt++] = i;
			phi[i] = i - 1;
		}
		for(int j = 0;j < cnt && (ll)prime[j] * i < maxn;j++)
		{
			vis[i*prime[j]] = true;
			if(i % prime[j] == 0)
			{
				phi[i*prime[j]] = phi[i] * prime[j];
				break;
			}
			else
				phi[i*prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);
		}
	}
	sum[0] = 0;
	for(int i = 1;i < maxn ;i++)
	sum[i] = (sum[i - 1] + phi[i])%Mod;
	return ;
}

void yinzi()
{
	num = 0;
	int res = n;
	for(ll i = 2; i * i <= res;i++)
	{
		if(res % i == 0 && !vis[i])
		{
			vt[num++] = i;
			while(res % i == 0)
			res /= i;
		}
	}
	if(res > 1 && !vis[res])
	vt[num++] = res;
	return ;
}

ll solve(int n,int m)
{
	if(!n || !m) return 0;
	if(n == 1)	 return sum[m];
	if(m == 1)   return phi[n];
	/*for(int i = 0; i < cnt ;i++)
	{
		int w = prime[i];
		if(w > n)
		continue;
		if(n % prime[i] == 0)
		 {
		 	
		 	return ((w - 1)*solve(n/w,m)%Mod+solve(n,m/w))%Mod;
		 }
	}*/
	for(int i = 0;i < num;i++)
	{
		int w = vt[i];
		if(n % w == 0)
		return (phi[w]*solve(n/w,m)%Mod+solve(n,m/w))%Mod;
	}
	return 0;
}
ll qmod(ll x,ll y,ll mod)  
{  
    ll res=1;  
    x %= mod;
    while(y)  
    {  
        if(y&1)  
        res=res*x%mod;  
        x=x*x%mod;  
        y>>=1;  
    }  
    return res%mod;  
} 



ll cal(ll k,int x)
{
	if(x == 1) return 0;
	ll tmp = cal(k,phi[x]);
	return qmod(k,tmp+phi[x],x);
}
int main()
{
	init();
	while(~scanf("%d %d %d",&n,&m,&p))
	{
		yinzi();
		ll k = solve(n,m);
		ll ans = cal(k,p);
		printf("%lld\n",ans);
	}
}
 

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int maxn = 1e7 + 10;
typedef long long ll;
const ll Mod = 1e9 + 7;
int n,m,p;
int prime[maxn],phi[maxn];
ll sum[maxn];
int vt[maxn];
int num,cnt;
void init()
{
	phi[1] = 1;
	 cnt = 0;
	for(int i = 2;i < maxn;i++)
	{
		if(phi[i] == 0)
		{
			prime[cnt++] = i;
			phi[i] = i - 1;
		}
		for(int j = 0;j < cnt && (ll)prime[j] * i < maxn;j++)
		{
			if(i % prime[j] == 0)
			{
				phi[i*prime[j]] = phi[i] * prime[j];
				break;
			}
			else
				phi[i*prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);
		}
	}
	sum[0] = 0;
	for(int i = 1;i < maxn ;i++)
	sum[i] = (sum[i - 1] + phi[i])%Mod;
	return ;
}

ll solve(int n,int m)
{
	if(!n || !m) return 0;
	if(n == 1)	 return sum[m];
	if(m == 1)   return phi[n];
	for(int i = 0; i < cnt ;i++)
	{
		int w = prime[i];
		if(w > n)
		continue;
		if(n % prime[i] == 0)
		 {
		 	
		 	return ((w - 1)*solve(n/w,m)%Mod+solve(n,m/w))%Mod;
		 }
	}
	return 0;
}
ll qmod(ll x,ll y,ll mod)  
{  
    ll res=1;  
    x %= mod;
    while(y)  
    {  
        if(y&1)  
        res=res*x%mod;  
        x=x*x%mod;  
        y>>=1;  
    }  
    return res%mod;  
} 

ll cal(ll k,int x)
{
	if(x == 1) return 0;
	ll tmp = cal(k,phi[x]);
	return qmod(k,tmp+phi[x],x);
}
int main()
{
	init();
	while(~scanf("%d %d %d",&n,&m,&p))
	{
		ll k = solve(n,m);
		ll ans = cal(k,p);
		printf("%lld\n",ans);
	}
}
 

f(n,m)=∑i=1mϕ(i×n)=ϕ(p)∑i=1&&i%p≠0mϕ(i×np)+∑i=1mpϕ(i×p×n)=ϕ(p)∑i=1&&i%p≠0mϕ(i×np)+p∑i=1mpϕ(i×n)=ϕ(p)∑i=1&&i%p≠0mϕ(i×np)+(ϕ(p)+1)∑i=1mpϕ(i×n)=ϕ(p)∑i=1mϕ(i×np)+∑

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