標籤為Hard，動態規劃題目

與一般的股票題目類似，但是最多支援兩次賣出操作，很容易想到多開一個維度。
設F[i][j]為第i次操作後第j天賣出時能得到的最大收益
有F[i][j]=max{F[i-1][0..j-1]}+prices[j]-min{prices[i]}(i<j)
邊界條件F[-1][0..size]=0

時間複雜度為O(n^2)，空間複雜度為O(n)，速度相當慢，耗時為1088ms，只快於2.96%的C++程式碼。
實現程式碼：

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
 

        vector<int> ans(prices.size()*2,0);
        vector<int> p(prices.size(),0);//儲存著前i天的最大值
        //第一次
        int result = 0;
        for(int i = 0;i<prices.size();i++)
        {
            int counting = 0;
            for(int j = 0;j<i;j++)
            {
                counting =
 
 counting>(prices[i]-prices[j])?counting:(prices[i]-prices[j]);
            }
            ans[i] = counting;
            result = result>counting?result:counting;
            p[i] = result;
            //cout<<i<<" "<<counting<<endl;
        }
        //第二次
        for(int i =
 
 prices.size()+1;i<2*prices.size();i++)
        {
            int counting = 0;
            for(int j = prices.size()+1;j<i;j++)
            {
                int number = p[j-prices.size()-1]+(prices[i-prices.size()]-prices[j-prices.size()]);
                counting = counting>number?counting:number;
            }
            ans[i] = counting;
            result = result>counting?result:counting;
            //cout<<i<<" "<<counting<<endl;
        }
        return result;
    }
};

進一步優化

優化1

根據我的定義，有p[i]來表示第一次交易在前i天所取得的最大值。這個值是根據F[0][j]來產生的，而F[0][j]是可以由j的增加來動態產生的，一段時間內的售出最大值可以由前一天的售出最大值計算得到，因為F[0][j] = prices[j]-min{prices[i]}，這個最小价格顯然不會隨著j的增大而改變（除非j自己更新了它）。因此會有F[0][j] = max(0,F[0][j-1]+prices[j]-prices[j-1])，此時p[i]的計算代價可以縮小到O(n)。

        int result = 0;
        for(int i = 1;i<prices.size();i++)
        {
            ans[i] = max(ans[i-1]+prices[i]-prices[i-1],0);
            result = result>ans[i]?result:ans[i];
            p[i] = result;
        }

優化後計算時間為588ms，快於4.94%的C++程式碼。

優化2

觀察後面的二層迴圈，可以發現number = p[j-prices.size()-1]+(prices[i-prices.size()]-prices[j-prices.size()]);這條式子可以化為number = p[j-prices.size()-1]-prices[j-prices.size()]+prices[i-prices.size()];，考慮到i是不變的，也就是利潤等於買入前一天的最大值與買入時的股票價格的差值的最大值加上賣出時的股票價格。
因此，設m[j]=max{p[j-1]-prices[j]}，F[1][j] = m[j-1]+prices[j]

得到程式：

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        vector<int> ans(prices.size()*2,0);
        vector<int> p(prices.size(),0);//儲存著前i天的最大值
        vector<int> m(prices.size(),-1*(1<<31));
        //第一次
        int result = 0;
        for(int i = 1;i<prices.size();i++)
        {
            ans[i] = max(ans[i-1]+prices[i]-prices[i-1],0);
            result = result>ans[i]?result:ans[i];
            p[i] = result;
            m[i] = p[i-1]-prices[i];
            m[i] = m[i]>m[i-1]?m[i]:m[i-1];
            //cout<<"m"<<i<<" "<<m[i]<<endl;
        }
        //第二次
        for(int i = 1;i<prices.size();i++)
        {
            ans[i] = m[i-1]+prices[i];
            result = result>ans[i]?result:ans[i];
        }
        return result;
    }
};

得到的結果為4ms，快於99.66%的C++程式，優化結束。