一：什麼是卷積

離散卷積的數學公式可以表示為如下形式：

f(x) =  - 其中C(k)代表卷積運算元，g(i)代表樣本資料, f(x)代表輸出結果。

舉例如下：

假設g(i)是一個一維的函式，而且代表的樣本數為G = [1,2,3,4,5,6,7,8,9]

假設C(k)是一個一維的卷積運算元, 運算元為C=[-1,0,1]

則輸出結果f(x)可以表示為 F=[1,2,2,2,2,2,2,2,1]  //邊界資料未處理

以上只是一維的情況下，當對一幅二維數字影象加以卷積時，其數學意義可以解釋如下：

源影象是作為輸入源資料，處理以後要的影象是卷積輸出結果，卷積運算元作為Filter

在XY兩個方向上對源影象的每個畫素點實施卷積操作。如圖所示：

粉紅色的方格每次在X/Y前進一個畫素方格，就會產生一個新的輸出畫素，圖中深藍色的代

表要輸出的畫素方格，走完全部的畫素方格，就得到了所有輸出畫素。

圖中，粉紅色的矩陣表示卷積運算元矩陣，黑色表示源影象– 每個方格代表一個畫素點。

二：卷積在數字影象處理中應用

一副數字影象可以看作一個二維空間的離散函式可以表示為f(x, y), 假設有對於二維卷積操

作函式C(u, v) ，則會產生輸出影象g(x, y) = f(x, y) *C(u,v), 利用卷積可以實現對影象模糊處理，邊緣檢測，產生軋花效果的影象。

一個簡單的數字影象卷積處理流程可以如下：

1.      讀取源影象畫素

2.      應用卷積運算元矩陣產生目標影象

3.      對目標影象進行歸一化處理

4.      處理邊界畫素

三使用模板處理影象相關概念：     

      模板：矩陣方塊，其數學含義是一種卷積運算。
      卷積運算：可看作是加權求和的過程，使用到的影象區域中的每個畫素分別於卷積核(權矩陣)的每個元素對應相
                乘，所有乘積之和作為區域中心畫素的新值。
      卷積核：卷積時使用到的權用一個矩陣表示，該矩陣與使用的影象區域大小相同，其行、列都是奇數，
              是一個權矩陣。
      卷積示例：
              3 * 3 的畫素區域R與卷積核G的卷積運算：
              R5(中心畫素)=R1G1 + R2G2 + R3G3 + R4G4 + R5G5 + R6G6 + R7G7 + R8G8 + R9G9
            

四使用模板處理影象的問題：
       邊界問題：當處理影象邊界畫素時，卷積核與影象使用區域不能匹配，卷積核的中心與邊界畫素點對應，
                 卷積運算將出現問題。
       處理辦法：
              A． 忽略邊界畫素，即處理後的影象將丟掉這些畫素。
              B． 保留原邊界畫素，即copy邊界畫素到處理後的影象。

五.常用模板：

六其他

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 以下用$符號表示從負無窮大到正無窮大的積分。   

  一維卷積：   
  y(t)=g(k)*x(k)=$g(k)x(t-k)   
  先把函式x(k)相對於原點反折，然後向右移動距離t，然後兩個函式相乘再積分，就得到了在t處的輸出。對每個t值重複上述過程，就得到了輸出曲線。   

  二維卷積：   
  h(x,y)=f(u,v)*g(u,v)=$$f(u,v)g(x-u,y-v)   
  先將g(u,v)繞其原點旋轉180度，然後平移其原點，u軸上像上平移x，   v軸上像上平移y。然後兩個函式相乘積分，得到一個點處的輸出。   

在影象中卷積是什麼意思呢,就是影象就是影象f(x),模板是g(x),然後將模版g(x)在模版中移動,每到一個位置,就把f(x)與g(x)的定義域相交的元素進行乘積並且求和,得出新的影象一點,就是被卷積後的影象.模版又稱為卷積核.卷積核做一個矩陣的形狀。由於大多數模板都是對稱的，所以模板不旋轉。 

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