環形石子合併問題（動態規劃）

傳統的石子合併問題為：有N堆石子，現要將石子有序的合併成一堆，規定如下：每次只能移動相鄰的2堆石子合併，合併花費為新合成的一堆石子的數量，求將這N堆石子合併成一堆的總花費最小（或最大）。

這類問題類似區間DP的解法，設dp[i][j]為合併從i到j的最小總花費，那麼預處理出字首和，轉移方程為dp[i][j]=max(dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1])，且i==j時dp[i][j]=0;核心程式碼為：

    for(int v = 1; v < n; v++)
    {
        for(int i = 0;i < n-v; i++)
        {
            int j = i + v;
            dp[i][j] = INF;
            int tmp = sum[j] - (i > 0 ? sum[i-1]:0);
            for(int k = i; k < j; k++)
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k+1][j] + tmp);
        }
    }
 

環形石子合併問題為洛谷P1880

題目描述

在一個圓形操場的四周擺放N堆石子,現要將石子有次序地合併成一堆.規定每次只能選相鄰的2堆合併成新的一堆，並將新的一堆的石子數，記為該次合併的得分。

試設計出1個演算法,計算出將N堆石子合併成1堆的最小得分和最大得分.

輸入輸出格式

資料的第1行試正整數N,1≤N≤100,表示有N堆石子.第2行有N個數,分別表示每堆石子的個數.

輸出共2行,第1行為最小得分,第2行為最大得分.

輸入輸出樣例

4
4 5 9 4

43
54

題解：對於環形的處理典型的方法是將環拆成鏈，也就是將長度擴大2倍，求鏈的最佳得分可以通過反向列舉左端點，然後找到當前到右端點的最佳，因為鏈的長度為原來的兩倍，所以應該從2*n-1列舉，每次列舉n的長度，然後從1-n找最後的答案即可。

AC程式碼：

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define _for(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
const int maxn = 507;
const int inf = 0x3f3f3f;
int n,m,a[maxn],sum[maxn],dp_max[maxn][maxn],dp_min[maxn][maxn];
int main(int argc, char const *argv[])
{
    cin>>n;
    _for(i,1,n)
    {
        cin>>a[i];
        sum[i]=sum[i-1]+a[i];
    }
    _for(i,n+1,n*2)
    {
        a[i]=a[i-n];
        sum[i]=sum[i-1]+a[i];
    }
    for(int i=n*2-1;i>0;i--)
    {
        _for(j,i+1,i+n)
        {   
            dp_min[i][j]=inf;
            _for(k,i,j-1)
            {
                dp_min[i][j]=min(dp_min[i][j],dp_min[i][k]+dp_min[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1]);
                dp_max[i][j]=max(dp_max[i][j],dp_max[i][k]+dp_max[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1]);
            }
        }
    }
    int ans_min = inf;
    int ans_max = 0;
    _for(i,1,n)
    {
        ans_max=max(dp_max[i][i+n-1],ans_max);
        ans_min=min(dp_min[i][i+n-1],ans_min);
    }
    cout<<ans_min<<endl;
    cout<<ans_max<<endl;
    return 0;
}