首先我們知道迴文子串的判定和長度的奇偶性是有關係的，由於迴文分為偶迴文（比如 bccb）和奇迴文（比如 bcacb），而在處理奇偶問題上會比較繁瑣，所以這裡我們使用一個技巧，在字元間插入一個字元（前提這個字元未出現在串裡），常用的是"$""#"。舉個例子：s="abbahopxpo"，轉換為newS="$#a#b#b#a#h#o#p#x#p#o#\0"（這裡在串首、尾加的字元"$"和"\0";只是設定邊界，為了防止越界，而且顯然不影響迴文子串，下面會有說明），如此，s 裡起初有一個偶迴文abba和一個奇迴文opxpo，被轉換為"#a#b#b#a#"和"#o#p#x#p#o#"，長度都轉換成了奇數。

　　證明經過上述操作迴文串的長度必為奇數：

　　　　若原迴文串的長度為奇數n（原串 aaa），首尾間共有偶數n-1個空位被加上"#"，加上首前和尾後各1個"#"（新串 #a#a#a#），可見新的長度為2n+1，顯然是奇數;

若原迴文串的長度為偶數n（原串 aa），首尾間共有奇數n-1個空位被加上"#"，加上首前和尾後各1個"#"（新串 #a#a#），可見新的長度也為2n+1，顯然是奇數。得證。

　　我們定義一個輔助陣列int p[]，p[i]表示以news[i]為中心的最長迴文的半徑，例如

　　易得P[i]-1即以i為中心的在原串中的迴文子串的長度：例如P[5]=5，則4就是以5這個位置為中心在原串中的最長迴文子串的長度（abba），為什麼這是對的呢？因為我們知道P[i]*2-1為新串中以i為中心的最長迴文子串的長度，設該回文子串原長為n，則由上面的證明可知新串的長度=2n+1=P[i]*2-1，移項化簡得n=P[i]-1。

　　於是重點來了：我們如何快速的求出P[]陣列。這時就要用到DP的思想了，我們一般會想到這樣求解p[i]，先初始化p[i]=1，再以news[i]為中心判斷兩邊是否相等，相等就p[i]++。這就是普通的思維，但是我們想想，能否避免重複操作讓p[i]的初始化不是 1，讓它更大點，看下圖：

　　設定兩個變數，mx 和 id 。
  mx 代表以news[id]為中心的最長迴文最右邊界，也就是mx=id+p[id]。

　 假設我們現在求p[i]，也就是以news[i]為中心的最長迴文半徑，如果i<mx，如上圖，那麼

　　if(i<mx) p[i] = min(p[id*2-i] , mx-i);

      

　　else p[i] = 1;

　怎麼理解呢？我們看圖，因為mx是以id為中心的最長迴文半徑，若當前的i比mx要小，說明以i為中心的最長迴文子串的一部分已經出現在以id為中心的迴文子串中了，注意圖中下面標註的兩條短黑線，因為我們是線性dp，j點一定被訪問過且P[j]被處理過，而j與i關於id對稱（i+j=2*id），所以j=id*2-i，由於迴文串的對稱性，以i為中心的最長迴文子串中的半徑最小值一定是p[j]和mx-i中的最小值; 而若i>mx，就只能將p[i]賦為1來更新了。（感覺解釋了和沒解釋一樣啊，由於博主表述能力較差，我們不如舉例）

　　就比如一個迴文子串："#a#a#a#a#a#"，我們以中間的a位置為id，所以id=6，mx=12。假設目前訪問到了i=8的位置，則與其對稱的j=2*6-8=4，而p[4]在訪問8之前已經處理，p[4]=4，mx-i=4，所以取最小值4，將p[8]初始值賦為4。因為很容易看出在當前已經可以確定的是以8為中心的最長迴文串的半徑至少為4（#a#a#a#），當然有可能更大，我們之後判斷news[i+P[i]]==news[i-P[i]]是否成立，若成立就p[i]++。

　　講的好心累啊，我學manacher時完全自學，也沒有什麼解釋，完全是靠自己看懂的，還是得自己結合圖和程式碼理解啊,先發一波核心程式碼。

int manacher()
{
    int len=init();
    int ans=-N,id,mx=0;
    for(int i=1;i<len;i++)
    {
        if(i<mx)p[i]=min(p[id*2-i],mx-i);
        else p[i]=1;
        while(news[i-p[i]]==news[i+p[i]])p[i]++;
        if(mx<i+p[i])id=i,mx=i+p[i];
        ans=max(ans,p[i]-1);
    }
    return ans;
}

　　再發兩種情況的圖片自行理解一番：

　　這是初值p[i]=p[id*2-i]的圖：