前面對演算法分析的一些常用的 漸進符號 做了簡單的描述，這裡將使用歸併排序演算法做為一個實戰演練。

這裡首先假設讀者對歸併排序已經有了簡單的瞭解（如果不瞭解的同學可以自行百度下歸併排序的原理）。瞭解此演算法的同學應都知道，歸併排序的主要思想是分而治之（簡稱分治）。分治演算法的基本模式也基本上分為以下三大步驟：

1.問題分解成若干子問題，使子問題的解決起來足夠簡單，甚至達到常量級別θ(1)

2.子問題解決

3.合併

在演算法分析中也將會根據這三大步驟進行復雜度的分析和合並。下面將給出虛擬碼，並針對虛擬碼進行復雜度分析。

虛擬碼

// Merge Sort Code
MergeSort(A,start,end){
    if(start < end)
        then mid <- floor[(start-end)/2] 
        MergeSort(A,start,mid);
        MergeSort(A,mid,end);
        Merge(A,start,mid,end);
}

// Merge Code
Merge(A,start,mid,end){
    // 建立左陣列
    left <- mid - start + 1;
    create arrays L[1...left];
    for i <- 1 to left
       L[i] = A[start + i -1];  
    // 建立右陣列
    right = end - mid;
    create arrays R[1...right ];
    for j <- 1 to right
       R[j] = A[mid + j];
    // 合併
    i <- 1;
    j <- 1;
    for k <- start to end
       do if L[i] <= R[j] 
             then A[k] = L[i];  
             i++;
             if i > left 
                 then TailInsert(A,start + k,R,j) break;
          else A[k] = R[j];
               j++;
               if j > right
                  then TailInsert(A,start + k,L,i) break;
}
// 直接將B中的起始位置為q至結尾的元素插入到A陣列的p起始位置
TailInsert(A,p,B,q){
   k <- 0;
   for i <- q to length(B) 
       A[p + k] = B[i];
       k++;
}
 

空間複雜度

       由虛擬碼可以看出，歸併排序實現的主要實現的原理是由上至下遞迴的二分原陣列，並由下至上遞迴的合併二分後的子陣列，由於每次陣列的分裂都需要建立兩個新的陣列，所以其實歸併排序的空間複雜度是較高的，可達到O（n）。可能有些小夥伴會在空間複雜度到底是O（n）還是O（nlogn）之間存在疑惑，因為由虛擬碼可以得出歸併演算法的整個過程會複製log（n）個大小為n的陣列，那為什麼空間複雜度不是O（nlog（n））呢？①

時間複雜度

通過虛擬碼可以看出，歸併排序通過分治和遞迴對陣列A進行不斷的問題分解和合並，而針對遞迴式的演算法分析， 演算法導論中講述了多種方法，例如代換法、遞迴樹法、主方法。下面將使用多種方式對歸併排序進行復雜度的增長量級進行分析。

由於代換法需要事先估測一個大致的值，然後才能做進一步的代換驗證，而遞迴樹法是比較適合預測一個估值，所以我們首先將使用遞迴樹法進行時間複雜度的分析。

遞迴樹法分析

假設輸入規模n時，歸併演算法的時間複雜度為T（n），由虛擬碼可知歸併演算法中分為兩步：子陣列排序、子數組合並，由此可得T（n）= 2T（n/2 ）+ cn ， c為大於0的一個常數。如果將該公式用樹形結構來表示的話，則如下所示：

因為T（n）= 2T（n/2 ）+ cn，可得T（n/2）= 2T（n/4）+ c(n/2)，所以T（n）則可以推出下圖：

依次遞推可以得到一個深度為，葉子節點個數為n，值為T(1)的樹形圖。如下圖所示：

此時將樹形圖中所有的節點進行加和即可得到歸併排序的時間複雜度 ②

標註①

1.程式的執行是線上程棧中，一次方法的呼叫和返回代表著一個棧幀的入棧和出棧，棧幀出棧後，該棧幀中的臨時變數所佔用的空間都會得到釋放

2.copy陣列的操作都是在merge方法中執行，而merge方法的執行是在MergeSort的尾部，再加上程式執行的順序性和遞迴的特點，也就是說整個演算法所在的執行緒棧中只會存在一個merge方法，而merge方法從下往上依次歸併的時候，merge方法所需要的空間分別為2,4,8......n，直到return到第一層MergeSort方法時，merge方法所需要的空間才會達到最高n，由於遞迴從底層依次返回到上一層時，底層棧幀所佔用的空間就會得到釋放，所以歸併演算法的空間複雜度在遞迴返回到首層棧幀時最大，為O（n）。

標註②