演算法分析——排序演算法（歸併排序）複雜度分析（代換法）

阿新 • • 發佈：2019-01-21

上篇文章中我們對歸併排序的時間複雜度使用遞迴樹法進行了簡答的分析，並得出了結果歸併排序的時間複雜度為 $O(nlogn)$ ，這裡將使用代換法再進行一次分析。使用代換法解遞迴式的時候，主要的步驟有兩步：

1）猜測解的結果

2）使用數學歸納法驗證猜測結果

由上篇文章的遞迴樹分析中我們得出 $T(n) = 2T(\frac{n}{2}) +cn \leq O(nlogn)$ ，我們這裡將使用代換法對歸併排序的遞迴式進行求解，下面分別用 $T(n) = 2T(\frac{n}{2}) + ck \leq O(n)$ ， $T(n) = 2T(\frac{n}{2}) + ck \leq O(n^{2})$ ， $T(n) = 2T(\frac{n}{2}) + ck \leq O(nlogn)$ 三個證明進行代入分析。

證明1

首先猜測歸併排序的時間複雜度為 $O(n)$ ，假設對於所有的 $k\leq n , k >0$ ，都滿足 $T(k) \leq ck 對於所有的k<n,k>0$
$T(k) = 2T(\frac{k}{2}) + ck \leq 2(\frac{ck}{2}) + ck = ck +ck$

$T(k) \leq ck + ck \leq ck$

當證明不等式成立時，歸併排序的時間複雜度為O(n)成立，但很明顯不等式只有當k=0的時候才成立，所以結論歸併排序的時間複雜度為O(n)不成立

。

證明2

假設歸併排序的時間複雜度為 $O(n^{2})$ ，假設對於所有的 $k> 0$ ， $k\leq n$ 都符合 $T(k) \leq c.k^{2}$

$T(k) = 2T(\frac{k}{2}) + c.k\leq 2.c(\frac{k}{2})^{2} +c.k = \frac{c}{2}.k^{2} +c.k$

$T(k) \leq c.k^{2} -(\frac{c}{2}.k^{2} - c.k) \leq c.k^{2}$

當 $k\geq 2$ 時不等式均成立，，不等式成立。所以對於c為正常數， $k\geq 2$ 時，歸併排序的時間複雜度為 $O(n^{2})$ 成立。

證明3

假設歸併排序的時間複雜度為 $O(nlogn)$ ，假設對於所有的 $k> 0$ ， $k\leq n$ 都符合 $T(k) \leq c.klogk$

$T(k) = 2T(\frac{k}{2}) + ck \leq ck.log\frac{k}{2} +ck$

$T(k) \leq ck(logk -log2) +ck = ck.logk$

所以當 c，k取任何數值時，不等式 $cklogk \leq cklogk$ 均成立，所以對於任意的c， $k> 0$ , $k\leq n$ 歸併排序的時間複雜為 $O(nlogn)$ 均成立。

經過上面的三次證明後，可以很容易發現代換法的缺點，對解的猜測要求比較高

，證明1中由於猜測結果過小無法滿足要求，證明2中猜測結果過大又無法獲得一個漸進緊確界，所以對於遞迴式函式的複雜度求解，往往首先由主定理或遞迴樹法求得結果，再由代換法二次證明。

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