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期望

離散型

E(x)=∑ixipi

連續型

E(x)=∫+∞−∞xf(x)dx
意思就是概率下的加權值，加和和積分在本質上可以看成一樣的。

意義

在概率論和統計學中，一個離散性隨機變數的期望值（或數學期望、或均值，亦簡稱期望，物理學中稱為期待值）是試驗中每次可能結果的概率乘以其結果的總和。換句話說，期望值是隨機試驗在同樣的機會下重複多次的結果計算出的等同“期望”的平均值。——維基百科

性質

無條件成立

E(kX)=kE(X)
E(X+X)=E(X)+E(X)

X和Y相互獨立

E(XY)=E(X)E(Y)
這個性質，反之不成立，若E(XY)=E(X)E(Y)只能說明X和Y不相關

例題

從1,2,3…98,99,2015這100個數中選擇若干個數求異或，試求異或的期望值
異或：即不帶進位的加法，奇數個1位為1，偶數個1為0，跟0的個數沒有關係
我們首先考慮最大的數2015，寫成二進位制2015=（11111011111），共11位
針對每一位分別進行計算，考慮第i位Xi，假定給定的100個數中的第i位一共有N個1，M個0，某次取樣取到1的個數為k。則有

E(P{Xi=1})=2m⋅∑k∈oddCkn2m+n=∑k∈oddCkn2n=12
odd表示奇數
則11位二進位制數中，每個位取1的期望都是0.5

E(x)=E(∑i=010(Xi⋅P{Xi}))
E(x)=E(∑i=010(2i⋅P{Xi=1}+0⋅P{Xi=0}))
E(x)=E(∑i=010(2i⋅P{Xi=1}))
E(x)=∑i=010E(2i⋅P{Xi=1})=∑i=0102i⋅E(P{Xi=1})
E(x)=∑i=0102i⋅12=(11111111111)22=1023.5

方差

定義

Var(x)=E{[X−E(X)]2}=E(X2)−E2(X)

意義

在概率論和統計學中，一個隨機變數的方差描述的是它的離散程度，也就是該變數離其期望值的距離。一個實隨機變數的方差也稱為它的二階矩或二階中心動差，恰巧也是它的二階累積量。方差的算術平方根稱為該隨機變數的標準差。—維基百科

性質

無條件成立

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