泊松分佈是一個離散型隨機變數分佈，其分佈律是：

P(X=k)=λke−λk!
根據離散型隨機變數分佈的期望定義，泊松分佈的期望： E(X)=∑k=0∞k⋅λke−λk!
因為k=0時： k⋅λke−λk!=0
所以：
E(X)=∑k=1∞k⋅λke−λk!
做一下變換：
E(X)=∑k=1∞k⋅λke−λk!=∑k=1∞λke−λ(k−1)!=∑k=1∞λk−1λe−λ(k−1)!=λe−λ∑k=1∞λk−1(k−1)!
這裡需要用到泰勒展開式，我們知道常用的泰勒展開式中：
ex=1+x+x22!+x33!+...+xnn!+...=∑k=1∞xk−1(k

−1)!
因此，泊松分佈的期望為:
E(X)=λe−λ∑k=1∞λk−1(k−1)!=λe−λeλ=λ
對於方差D(X)，先求出E(X2):
E(X2)=∑k=0∞k2⋅λke−λk!=λe−λ∑k=1∞kλk−1(k−1)!=λe−λ∑k=1∞(k−1+1)λk−1(k

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