二項分佈均值和方差的簡單推導

阿新 • • 發佈：2019-01-17

前一篇文章《二項分佈》中說過，伯努利分佈（也稱為兩點分佈或0-1分佈）是二項分佈在n=1時的特例。我們先看伯努利分佈的均值和方差的推導。

根據離散型隨機變數均值和方差的定義，若離散型隨機變數X的分佈列為：

X	x1	x2	...	xi	...	xn
P	p1	p2	...	pi	...	pn

則稱E(X)=x1*p1+x2*p2+...+...xi*pi+...+xn*pn為隨機變數X的均值或數學期望，稱 $D(X)=\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-E(X))^{2}p_{i}$ 為隨機變數X的方差。

伯努利分佈的分佈列為：

X	0	1
P	1-p	p

則根據離散型隨機變數的均值和方差定義：
E(X)=0*(1-p)+1*p=p

D(X)=(0-E(X))

²(1-p)+(1-E(X))²p=p²(1-p)+(1-p)²p=p²-p³+p³-2p²+p=p-p²=p(1-p)

對於二項分佈X~B(n,p)，X表示的是n次伯努利試驗中事件發生次數的隨機變數。用Xi表示第i次伯努利試驗中的隨機變數，那麼n次伯努利試驗總的隨機變數X可以表示成：

X=X1+X2+...+Xi+...+Xn

一直沒有找到滿意的隨機變數和、差、積、商的物理/幾何/現實意義，如果有了解的朋友不妨留言，不甚感激。

根據均值和方差的性質,如果兩個隨機變數X,Y相互獨立，那麼：

E(X+Y)=E(X)+E(Y)

D(X+Y)=D(X)+D(Y)

對於二項分佈X~B(n,p)，每一次伯努利試驗都相互獨立，因此：

E(X)=E(X1)+E(X2)+...+E(Xi)+...+E(Xn)=p+p+...+p+...p=np

D(X)=D(X1)+D(X2)+...+D(Xi)+...+D(Xn)=p(1-p)+p(1-p)+...+p(1-p)+...+p(1-p)=np(1-p)

前一篇文章《二項分佈》中說過，伯努利分佈（也稱為兩點分佈或0-1分佈）是二項分佈在n=1時的特例。我們先看伯努利分佈的均值和方差的推導。根據離散型隨機變數均值和方差的定義，若離散型隨機

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