為了求解問題

因為它是非凸的，我們求解一個它的近似演算法

對於一個大的ττ值，它可以用下列等式接近

其中第一項為核正規化（奇異值的和），第二項為Frobenius正規化。

1. Singular Value Thresholding (SVT) 奇異值閾值

   * 奇異值收縮(singular value shrinkage)*

   首先我們考慮一個秩為rr的矩陣X∈Rn1xn2X∈Rn1xn2的奇異值分解如下： 
    
   其中 UU 和 VV 分別為 n1×rn1×r 和 n2×rn2×r 的正交矩陣，奇異值為ρiρi非負的。

   對於每個τ≥0τ≥0，我們有軟閾值操作DτDτ: 
    
   其中t+t+表示的tt非負部分，即 t+=max(0,

   t)t+=max(0,t)。換句話說，這個軟閾值操作僅僅應用於矩陣 XX 的奇異值上，使它們趨於零。這也是為什麼我們將其成為奇異值收縮(singular value shrinkage)的原因。

   * Singular Value Thresholding (SVT) 奇異值閾值*

   又因為奇異值收縮(singular value shrinkage)是核正規化的近似操作(具體證明見[3])，因此上式可以轉化為： 
   

   它的迭代方式為： 
   

   這個演算法受到壓縮感知中迭代演算法的啟發，在迭代過程中對矩陣進行SVD，然後將較小的奇異值設定為0，生成新的矩陣進行迭代。該演算法運算速度快，對於高位低秩矩陣的恢復非常有效。

2. 用拉格朗日乘子法解釋

   原問題為：

   

   其拉格朗日函式為：

   

   強對偶成立，且拉格朗日函式的鞍點是原函式與對偶問題的最優解，即

   

   其迭代解為：