行列式 & 高斯消元求解行列式
行列式
\[D = \left| \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & a_{13} \a_{21} & a_{22} & a_{23} \a_{31} & a_{32} & a_{33} \\end{array} \right|\]
上圖是一個三階行列式，行列式是形如上圖的一個東西，簡記為： \(det(a_{ij})\), 其中\(a_{ij}\)是行列式的第\(ij\)元。
一個n階行列式的值為：
\[\sum (-1)^t a_{1 p_1} a_{2p_2} ... a_{np_n}\]
其中\(t\)
特殊行列式
三角形行列式
滿足如下等式：
\[D = \left| \begin{array}{c} a_{11} &, &, & ... \a_{21} & a_{22}, &, & ... \a_{31} & a_{32} & a_{33}, & ...\. & . & . & .\. & . & . & .\a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \end{array} \right| = a_{11}a_{22}...a_{nn}\]
對角行列式
滿足如下等式：
\[D = \left| \begin{array}{c} \lambda_1 & & & &\& \lambda_2 & & &\& & . & & \& & & . & \& & & & \lambda_n \end{array} \right| = \lambda_1 \lambda_2 ... \lambda_n\]
相當於特殊的三角形行列式
性質
前置知識
轉置行列式：
將行列式\(D = det(a_{ij})\)
性質一
行列式與它的轉置行列式相等
性質二
交換行列式的兩行(列)，行列式變號
推論：如果行列式有兩行(列)完全相同，則此行列式等於零
性質三
行列式的某一行(列)中所有元素都乘同一數\(k\)，等於用數\(k\)乘行列式
推論：行列式中某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式記號外面
性質四
行列式中如果有兩行(列)元素成比例，則此行列式等於零。
性質五
若行列式的某一行(列)的元素都是兩數之和，例如第\(i\)行的元素都是兩數之和：
\[D = \left| \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\. & . & & .\. & . & & .\a_{i1} + a'_{i1} & a_{i2} + a'_{i2} & ... & a_{in} + a'_{in}\. & . & & .\. & . & & .\a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \end{array} \right|\]
則\(D\)等於下列兩個行列式之和:
\[D = \left| \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\. & . & & .\. & . & & .\a_{i1} & a_{i2} & ... & a_{in}\. & . & & .\. & . & & .\a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \end{array} \right| + \left| \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\. & . & & .\. & . & & .\a'_{i1} & a'_{i2} & ... & a'_{in}\. & . & & .\. & . & & .\a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \end{array} \right| \]
性質六
把行列式的某一行(列)的各元素同乘同一個數然後加到另一行(列)對應的元素上去，行列式不變。
高斯消元求解
由性質六和對角線行列式的計算方式可得，如果我們把行列式當做一個\(n\)元一次方程組，然後解出對角矩陣，再將對角線上的元素相乘，即可得到行列式的值。
行列式 & 高斯消元求解行列式