題意：

一個n個數的序列。對它進行 3 種操作。
  1 l r：輸入a[l,r]的和
  2 l r x：令[l,r]所有數對x取模
  3 k x：令a[k] = x

每到操作1時輸出和。

(1 ≤ n, m ≤ 1e5).  (1 ≤ a[i] ≤ 1e9) 

分析：

看到區間更新，應該想到懶惰標記。但是用懶惰標記應該滿足兩個條件：

1. 標記可以合併
2. 可以快速更新區間資訊。

但是這道題不滿足條件2，也就是無法快速更新區間和。而逐個更新每個數取模，彷彿又太慢了。

正確解法基於一個重要的結論，a % b <= a/2，這就意味著，任何一個數loga[i]次取模以內就能變為0。同時還注意到，a % b = a (a < b)。這兩點便可以極大的降低時間複雜度。

至此，便得到解題思路。單點更新和區間和並無特殊之處，而對於每個區間取模操作，如同遍歷這個區間所有的數字一樣，逐個取模更新。但是若某個區間的區間最大值小於mod，那麼這個區間就無需有任何操作。這相當於一個剪枝。所以我們需要兩個陣列，一個記錄區間和，一個記錄區間最大值。總的時間複雜度為O(nlognloga[i])。

其實線段樹的實質就是一個dfs搜尋樹的過程，只不過在每次搜尋的時候都判斷區間是否重合、是否相交、區間某值是否滿足條件等等，這些過程的實質就是剪枝。時間複雜度就是靠這些剪枝降到logn的，否則就像遍歷一棵樹一樣是O(n)。

程式碼

#include <iostream>
 

#include <algorithm>
#include <queue>
#include <stack>
#include <vector>
#include <set>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;
#define ms(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
typedef long long ll;
#define lson rt*2,l,(r+l)/2
 

#define rson rt*2+1,(l+r)/2+1,r
const int MAXN = 1e5 + 5;
const double EPS = 1e-8;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
ll mx[MAXN << 2], sum[MAXN << 2];
int n, m;
void pushup(int rt) {
    mx[rt] = max(mx[rt << 1], mx[rt << 1 | 1]);
    sum[rt] = sum[rt << 1] + sum[rt << 1 | 1];
}
void build(int rt, int l, int r) {
    if (l == r) {
        scanf("%lld", &mx[rt]);
        sum[rt] = mx[rt];
        return;
    }
    build(lson);
    build(rson);
    pushup(rt);
}
ll query(int L, int R, int rt, int l, int r) {
    if (L <= l && R >= r) {
        return sum[rt];
    }
    if (R <= (l + r) / 2)  return query(L, R, lson);
    else if (L > (l + r) / 2)    return query(L, R, rson);
    else    return query(L, R, lson) + query(L, R, rson);
}
void update(int L, int R, int rt, int l, int r, int mod) {
    if (L <= l && R >= r) {
        if (mx[rt] < mod)    return;
        if (l == r) {
            mx[rt] = sum[rt] = mx[rt] % mod;
            return;
        }
    }
    if (L <= (l + r) / 2) update(L, R, lson, mod);
    if (R > (l + r) / 2) update(L, R, rson, mod);
    pushup(rt);
}
void change(int rt, int l, int r, int k, int x) {
    if (l == r) {
        mx[rt] = x;
        sum[rt] = x;
        return;
    }
    if (k <= (l + r) / 2)  change(lson, k, x);
    else    change(rson, k, x);
    pushup(rt);
}
int main() {
    while (~scanf("%d%d", &n, &m)) {
        build(1, 1, n);
        while (m--) {
            int op, L, R, k, x;
            scanf("%d", &op);
            if (op == 1) {
                scanf("%d%d", &L, &R);
                printf("%lld\n", query(L, R, 1, 1, n));
            } else if (op == 2) {
                scanf("%d%d%d", &L, &R, &x);
                update(L, R, 1, 1, n, x);
            } else {
                scanf("%d%d", &k, &x);
                change(1, 1, n, k, x);
            }
        }
    }

    return 0;
}