可以用最小切割最大流定理：

1.min=MAXINT,確定一個源點

2.列舉匯點

3.計算最大流，並確定當前源匯的最小割集，若比min小更新min

4.轉到2直到列舉完畢

5.min即為所求輸出min

    不難看出複雜度很高：列舉匯點要O(n)，最短增廣路最大流演算法求最大流是O((n^2)m)複雜度，在複雜網路中O(m)=O(n^2)，演算法總複雜度就是O(n^5)；哪怕採用最高標號預進流演算法求最大流O((n^2)(m^0.5))，演算法總複雜度也要O(n^4)

    所以用網路流演算法求解最小割集複雜度不會低於O(n^4)。

－－－－－－－－－

    prim演算法不僅僅可以求最小生成樹，也可以求“最大生成樹”。最小割集Stoer-Wagner演算法就是典型的應用例項。

    求解最小割集普遍採用Stoer-Wagner演算法，不提供此演算法證明和程式碼，只提供演算法思路：

1.min=MAXINT，固定一個頂點P

2.從點P用“類似”prim的s演算法擴展出“最大生成樹”，記錄最後擴充套件的頂點和最後擴充套件的邊

3.計算最後擴充套件到的頂點的切割值（即與此頂點相連的所有邊權和），若比min小更新min

4.合併最後擴充套件的那條邊的兩個端點為一個頂點（當然他們的邊也要合併，這個好理解吧？）

5.轉到2，合併N-1次後結束

6.min即為所求，輸出min

prim本身複雜度是O(n^2)，合併n-1次，演算法複雜度即為O(n^3)

如果在prim中加堆優化，複雜度會降為O((n^2)logn)

這個Stoer-Wagner演算法可以參見這篇paper(http://docs.google.com/fileview?id=0BwxLvD9mcDNtMjk3MWVkMTAtZjMzNi00ZWE3LTkxYjQtYTQwNzcyZTk3Njk2&hl=en), 其核心思想是迭代縮小規模, 演算法基於這樣一個事實:

對於圖中任意兩點s和t, 它們要麼屬於最小割的兩個不同集中, 要麼屬於同一個集.

如果是後者, 那麼合併s和t後並不影響最小割. 基於這麼個思想, 如果每次能求出圖中某兩點之間的最小割, 然後更新答案後合併它們再繼續求最小割, 就得到最終答案了. 演算法步驟如下:

1. 設最小割cut=INF, 任選一個點s到集合A中, 定義W(A, p)為A中的所有點到A外一點p的權總和.

2. 對剛才選定的s, 更新W(A,p)(該值遞增).

3. 選出A外一點p, 且W(A,p)最大的作為新的s, 若A!=G(V), 則繼續2.

4. 把最後進入A的兩點記為s和t, 用W(A,t)更新cut.

5. 新建頂點u, 邊權w(u, v)=w(s, v)+w(t, v), 刪除頂點s和t, 以及與它們相連的邊.

6. 若|V|!=1則繼續1.

看起來很簡單, 每次像做最大生成樹一樣選最大"邊"(注意, 這裡其實不是邊, 而是已經累計的權值之和, 就當是加權的度好了), 然後把最後進入的兩個點縮到一塊就可以了. 合併點最多有n-1次, 而不加堆優化的prim是O(n^2)的, 所以最終複雜度O(n^3), 要是你有心情敲一大坨程式碼, 還可以在稀疏圖上用Fibonacci Heap優化一下, 不過網上轉了一圈, 大多都是說能用Fibonacci Heap優化到怎樣怎樣的複雜度, 真正能自己寫出來的恐怕也沒幾個, 看看uoregon(俄勒岡大學)的一大坨程式碼就有點寒. (http://resnet.uoregon.edu/~gurney_j/jmpc/fib.html)

特別注意幾個地方, 網上的好幾個Stoer-Wagner版本都存在一些小錯誤:

1. 演算法在做"最大生成樹"時更新的不是普通意義上的最大邊, 而是與之相連的邊的權值和, 當所有邊都是單位權值時就是累計度.

2. "最後進入A的兩點記為s和t", 網上對s有兩種解釋, 一是在t之前一個加進去的點, 二是t的前趨節點, 也就是最後選擇的那條邊的另一端. 正解是第一種!

3. 對於稠密圖, 比如這題, 我用堆, 對映二分堆, 或者STL的優先佇列都會TLE, 還不如老老實實O(n^3).

 1#include <iostream> 2#include <cmath> 3usingnamespace std;
 4int mat[600][600];
 5int res;
 6//Stoer-Wagner演算法，加了自己看得懂的備註
 7//無向圖全域性最小割，用求prim類似方法o（n^3)，學習了一個下午……
 8//一開始用列舉源點匯點的最大流求解，複雜度o(n^5) 超時 9int min(int a,int b)
10{
11    if(a<b) return a;
12    elsereturn b;
13}14
15void Mincut(int n) 
16{
17    int node[600], dist[600];
18    bool visit[600];
19    int i, prev, j, k;
20    for (i =0; i < n; i++)
21        node[i] = i;
22    while (n >1) 
23    {
24        int maxj =1;
25        for (i =1; i <n; i++) //初始化到已圈集合的割大小26{ 
27            dist[node[i]] = mat[node[0]][node[i]];
28            if (dist[node[i]] > dist[node[maxj]])
29                maxj = i;
30        }31        prev =0;
32        memset(visit, false, sizeof (visit));
33        visit[node[0]] =true;
34        for (i =1; i < n; i++)
35    {
36                        if (i == n -1)//只剩最後一個沒加入集合的點，更新最小割37{ 
38                                res = min(res, dist[node[maxj]]);
39                                for (k =0; k < n; k++) //合併最後一個點以及推出它的集合中的點40{
41                    mat[node[k]][node[prev]]=(mat[node[prev]][node[k]]+=mat[node[k]][node[maxj]]);
42                }43                                node[maxj] = node[--n]; //縮點後的圖44                        }45                        visit[node[maxj]] =true;
46                        prev = maxj;
47                        maxj =-1;
48                        for (j =1; j < n; j++)
49            {
50                                if (!visit[node[j]]) //將上次求的maxj加入集合，合併與它相鄰的邊到割集51{ 
52                                      dist[node[j]] += mat[node[prev]][node[j]];
53                                      if (maxj ==-1|| dist[node[maxj]] < dist[node[j]])
54                                      maxj = j;
55                                }56            }57        }58
59    }60    return;
61}62
63int main()
64 {
65    int n, m, a, b, v;
66    while (scanf("%d%d", &n, &m) != EOF)
67    {
68        res = (1<<29);
69        memset(mat, 0, sizeof (mat));
70        while (m--)
71    {
72            scanf("%d%d%d", &a, &b, &v);
73            mat[a][b] += v;
74            mat[b][a] += v;
75        }76        Mincut(n);
77        printf("%d\n", res);
78    }79    return0;
80}81