題目

一個袋子裡有30個銀幣，其中一枚是假幣，並且假幣和真幣一模一樣，肉眼很難分辨，目前只知道假幣比真幣重量輕一點。
請問，如何區分出假幣？

分析

首先，分析一下尋找假幣問題，採用遞迴分治的思想求解。

1. 首先為每個銀幣編號，然後將所有的銀幣等分為兩份，放在天平的兩邊。這樣就將區分30個銀幣的問題變為區別兩堆銀幣的問題。
2. 因為假幣分量較輕，因此天平較輕的一側中一定包含假幣。
3. 再將較輕的一側中銀幣等分為兩份，重複上述做法。
4. 直到剩下兩枚銀幣，便可用天平直接找出假銀幣。

分治演算法思想

分治演算法的基本思想是將一個計算複雜的問題分為若干個規模較小、計算簡單的小問題來進行求解，然後綜合各個小問題，得到最終問題的答案。

執行過程如下：

1. 對於一個規模為N的問題，若該問題可以容易的解決（比如說規模N較小），則直接解決，否則執行下面的步驟；
2. 將該問題分解為M個規模較小的子問題，這些子問題應該互相獨立，並且與原問題形式相同；
3. 遞迴求解各個子問題；
4. 然後將各個子問題的解合併得到原問題的解；

使用分治演算法要求待求解的問題能夠化簡為若干個小規模的相同問題，通過逐步劃分，達到一個易於求解的階段而直接進行求解。然後再程式中使用遞迴演算法進行求解。

程式碼

#include <iostream>
#include <cstdlib>

using namespace std;

const
 
 int MAXNUM = 30;

int falseCoin(int weight[], int lhs, int rhs)
{
    if (lhs == rhs)
        return lhs + 1;
    //如果只剩下兩個銀幣，則較輕的那個便是假幣
    else if (lhs == (rhs - 1))
    {
        return weight[lhs] < weight[rhs] ? lhs + 1 : rhs + 1;
    }

    int lsum = 0, rsum = 0;

    //如果偶數個銀幣，則比較兩等份
    if ((rhs - lhs + 1
 
) % 2 == 0)
    {
        for (int i = lhs; i < (lhs + (rhs - lhs + 1) / 2); i++)
        {
            lsum += weight[i];
        }

        for (int j = lhs + (rhs - lhs + 1) / 2; j <= rhs; j++)
        {
            rsum += weight[j];
        }

        //左右兩份等重，則無假幣
        if (lsum == rsum)
            return -1;
        else
            return (lsum < rsum) ? falseCoin(weight, lhs, lhs + (rhs - lhs) / 2) : falseCoin(weight, lhs + (rhs - lhs) / 2 + 1, rhs);
    }

    //如果奇數個銀幣，則比較除中間銀幣外的兩等份
    else if ((rhs - lhs + 1) % 2 != 0)
    {
        for (int i = lhs; i < (lhs + (rhs - lhs) / 2); i++)
        {
            lsum += weight[i];
        }

        for (int j = (lhs + (rhs - lhs) / 2 + 1); j <= rhs; j++)
        {
            rsum += weight[j];
        }

        //左右兩份等重，則無假幣
        if (lsum == rsum && weight[lhs] == weight[lhs + (rhs - lhs) / 2])
            return -1;

        //如果兩份等重，中間銀幣較輕，則中間銀幣為假幣
        else if (lsum == rsum && weight[lhs] > weight[lhs + (rhs - lhs) / 2])
            return lhs + (rhs - lhs) / 2 + 1;

        //否則，返回較輕那份中的假幣
        else
            return (lsum < rsum) ? falseCoin(weight, lhs, lhs + (rhs - lhs) / 2 - 1) : falseCoin(weight, lhs + (rhs - lhs) / 2 + 1, rhs);
    }
}

int main()
{
    int weight[MAXNUM];

    int n;
    while (cin >> n)
    {
        for (int i = 0; i < n; i++)
            cin >> weight[i];

        int falsePos = falseCoin(weight, 0, n - 1);

        if (falsePos != -1)
            cout << "第" << falsePos << "個銀幣為假幣！" << endl;
        else
            cout << "無假幣!" << endl;

    }//while

    system("pause");
    return 0;
}