揹包問題泛指以下這一種問題：

給定一組有固定價值和固定重量的物品，以及一個已知最大承重量的揹包，求在不超過揹包最大承重量的前提下，能放進揹包裡面的物品的最大總價值。

這一類問題是典型的使用動態規劃解決的問題，我們可以把揹包問題分成3種不同的子問題：0-1揹包問題、完全揹包和多重揹包問題。下面對這三種問題分別進行討論。

1.0-1揹包問題

0-1揹包問題是指每一種物品都只有一件，可以選擇放或者不放。現在假設有n件物品，揹包承重為m。

對於這種問題，我們可以採用一個二維陣列去解決：f[i][j]，其中i代表加入揹包的是前i件物品，j表示揹包的承重，f[i][j]表示當前狀態下能放進揹包裡面的物品的最大總價值。那麼，f[n][m]就是我們的最終結果了。

採用動態規劃，必須要知道初始狀態和狀態轉移方程。初始狀態很容易就能知道，那麼狀態轉移方程如何求呢？對於一件物品，我們有放進或者不放進揹包兩種選擇：

  （1）假如我們放進揹包，f[i][j] = f[i - 1][j - weight[i]] + value[i]，這裡的f[i - 1][j - weight[i]] + value[i]應該這麼理解：在沒放這件物品之前的狀態值加上要放進去這件物品的價值。而對於f[i - 1][j - weight[i]]這部分，i - 1很容易理解，關鍵是 j - weight[i]這裡，我們要明白：要把這件物品放進揹包，就得在揹包裡面預留這一部分空間。

  （2）假如我們不放進揹包，f[i][j] = f[i - 1][j]，這個很容易理解。

    因此，我們的狀態轉移方程就是：f[i][j] = max(f[i][j] = f[i - 1][j] , f[i - 1][j - weight[i]] + value[i])  

    當然，還有一種特殊的情況，就是揹包放不下當前這一件物品，這種情況下f[i][j] = f[i - 1][j]。

下面是實現的程式碼：

#include <iostream>
#define V 500
using namespace std;
int weight[20 + 1];
int value[20 + 1];
int f[20 + 1][V + 1];
int main() {
    
 
int n, m;
    cout << "請輸入物品個數:";
    cin >> n;
    cout << "請分別輸入" << n << "個物品的重量和價值:" << endl; 
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> weight[i] >> value[i];
    }
    cout << "請輸入揹包容量:";
    cin >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            if (weight[i] > j) {
                f[i][j] = f[i - 1][j];
            }
            else {
                f[i][j] = f[i - 1][j] > f[i - 1][j - weight[i]] + value[i] ? f[i - 1][j] : f[i - 1][j - weight[i]] + value[i];
            }
        }
    }    
    cout << "揹包能放的最大價值為:" << f[n][m] << endl;
}

特別的是，0-1揹包問題還有一種更加節省空間的方法，那就是採用一維陣列去解決，下面是程式碼：

#include <iostream>
#define V 500
using namespace std;
int weight[20 + 1];
int value[20 + 1];
int f[V + 1];
int main() {
    int n, m;
    cout << "請輸入物品個數:";
    cin >> n;
    cout << "請分別輸入" << n << "個物品的重量和價值:" << endl; 
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> weight[i] >> value[i];
    }
    cout << "請輸入揹包容量:";
    cin >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = m; j >= 1; j--) {
            if (weight[i] <= j) {
                f[j] = f[j] > f[j - weight[i]] + value[i] ? f[j] : f[j - weight[i]] + value[i];
            }
        }
    }
    cout << "揹包能放的最大價值為:" << f[m] << endl;
}

我看過很多部落格的描述，講得都不太清楚：為什麼要把第二層迴圈顛倒過來呢？我認為要理解這種方法，用圖是最合適不過了，我在另外一個部落格（http://blog.csdn.net/mu399/article/details/7722810）找到了這樣一個圖：

這個表格對於理解0-1揹包問題很有用，我們利用它來理解一下為什麼要把第二層迴圈顛倒這個問題。考慮d9這一項，要求出這個狀態，我們有可能利用到的就是e1到e8這8個狀態，當我們把第二層迴圈顛倒過來時，當我們要求f[j]時，f[j -1]到f[1]還儲存著下面一行的狀態，因此可以採用一維陣列解決。我們可以考慮一下假如不把第二層迴圈顛倒，當要求f[j]時，f[j - 1]到f[1]已經是同一行的狀態了，根本沒法求。

我在LeetCode上也曾做過類似的題目——120 Triangle（https://leetcode.com/problems/triangle/description/），也是把二維陣列簡化為一維陣列去解決問題。

更新：

for (int i = 1; i <= n; i++) {
     for (int j = m; j >= 1; j--) {
         if (weight[i] <= j) {
             f[j] = f[j] > f[j - weight[i]] + value[i] ? f[j] : f[j - weight[i]] + value[i];
         }
     }
}

這是0-1揹包最重要的部分，可以把它改為下面的更簡潔的版本：

for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = m; j >= weight[i]; j--) {
         f[j] = f[j] > f[j - weight[i]] + value[i] ? f[j] : f[j - weight[i]] + value[i];
    }
}

2.完全揹包問題

完全揹包問題是指每種物品都有無限件，具體的解法我也解釋不清楚，只能先放程式碼，談談我的理解了：

#include <iostream>
#define V 500
using namespace std;
int weight[20 + 1];
int value[20 + 1];
int f[V + 1];
int max(int a, int b) {
    return a > b ? a : b;
}
int main() {
    int n, m;
    cout << "請輸入物品個數:";
    cin >> n;
    cout << "請分別輸入" << n << "個物品的重量和價值:" << endl; 
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> weight[i] >> value[i];
    }
    cout << "請輸入揹包容量:";
    cin >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = weight[i]; j <= m; j++) {
            f[j] = max(f[j], f[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    cout << "揹包能放的最大價值為:" << f[m] << endl;
}

i=1時，計算只放第一件物品的最大價值。

i=2時，計算加上第二件物品的最大價值（在只放第一件物品的前提下）

以此類推……

值得注意的是，第二層迴圈要從j=weight[i]開始，這個稍微理解一下即可。

我在別的部落格看到了一段分析0-1揹包問題和完全揹包問題區別的話，覺得對理解這兩個問題很有幫助，因此截圖如下：

3.多重揹包問題

多重揹包問題限定了一種物品的個數，解決多重揹包問題，只需要把它轉化為0-1揹包問題即可。比如，有2件價值為5，重量為2的同一物品，我們就可以分為物品a和物品b，a和b的價值都為5，重量都為2，但我們把它們視作不同的物品。

程式碼如下：

#include <iostream>
using namespace std;
#define V 1000
int weight[50 + 1];
int value[50 + 1];
int num[20 + 1];
int f[V + 1];
int max(int a, int b) {
    return a > b ? a : b;
}
int main() {
    int n, m;
    cout << "請輸入物品個數:";
    cin >> n;
    cout << "請分別輸入" << n << "個物品的重量、價值和數量:" << endl; 
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> weight[i] >> value[i] >> num[i];
    }
    int k = n + 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        while (num[i] != 1) {
            weight[k] = weight[i];
            value[k] = value[i];
            k++;
            num[i]--;
        }
    }
    cout << "請輸入揹包容量:";
    cin >> m;
    for (int i = 1; i <= k; i++) {
        for (int j = m; j >= 1; j--) {
            if (weight[i] <= j) f[j] = max(f[j], f[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    cout << "揹包能放的最大價值為:" << f[m] << endl;
}