揹包問題

1，01揹包

揹包問題的基礎，總體積為V的揹包，有n件體積v【i】，價值w【i】的物品，求能裝物品的最大總價值

void zero(int v,int w)
{
	for(int j=V;j>=v;j--)
	{
		dp[j]=max(dp[j],dp[j-v]+w);
	}
	return ;
}

void complete(int v,int w)
{
	for(int j=v;j<=V;j++)
	{
		dp[j]=max(dp[j],dp[j-v]+w);
	}
	return ;
} 

二進位制優化：

二進位制優化的思想還是很巧妙的，根據c【i】得到一組這樣的數 2^0,2^1,2^2,2^3.....2^(k-1) , c-2^k+1  其中k是滿足2^k小於c的最大值，就像c=7=111，2^k=100=4  ;

 c=9=1001, 2^k=1000=8  ;  c=8=1000  2^k=0100=4   

得到這組數的目的是什麼呢，

1到c之間的所有數都可以由這組數組合得到（選取相加），而從這組數裡任意選任意個（每個數最多隻能選一次）加在一起得到的數也必定是1~c這個閉區間內的

例如14=1110   他對應的這組數為：1，2，4，7  可以試一試，通過前三個組合可以得到1~7之間的所有數，而加上7就可以得到8~14之間的所有數，因此可以得到1~14之間的任何數，所以我們可以只對這組數逐一進行01揹包，而不用從1到c都要01揹包一次，算是把O（c）的部分優化成了O（logc）

void erjinzhi()
{
	int i,j,k,m;
	memset(dp,0,sizeof(dp));
	for(i=0;i<n;i++)
	{
		for(k=1;k<<1<c[i];k<<=1)
		{
			for(j=V;j>=k*v[i];j--)
			{
				dp[j]=max(dp[j],dp[j-k*v[i]]+k*w[i]);
			}
		}
		m=c[i]-k+1;
		for(j=V;j>=m*v[i];j--)
		{
			dp[j]=max(dp[j],dp[j-m*v[i]]+m*w[i]);
		}
	} 
}
 

參考了這篇部落格的思想 http://blog.csdn.net/flyinghearts/article/details/5898183  以及k爺的程式碼http://blog.csdn.net/lxy767087094/article/details/54730613，加上自己的理解

那篇部落格大體思想講的很好，實現過程是用了兩個佇列，一個輔佐佇列，不易理解

struct node
{
	int num,value;
}que[100000];
int tail,head;
void push(int x,int y)
{
	while(tail>head&&que[tail-1].value<y)
	{
		tail--;
	}
	que[tail].num=x;
	que[tail++].value=y;
}
void singlequeue()
{
	int i,d,j;
	memset(dp,0,sizeof(dp));
	for(i=0;i<n;i++)
	{
		c[i]=min(c[i],V/v[i]);
		for(d=0;d<v[i];d++)
		{
			head=tail=0;
			for(j=0;j<=(V-d)/v[i];j++)
			{
				push(j,dp[j*v[i]+d]-j*w[i]);
				while(que[head].num<j-c[i]&&tail>head)
				head++;
				dp[j*v[i]+d]=que[head].value+j*w[i];
			}
		}
	}
}