堆排序是由1991年的計算機先驅獎獲得者、斯坦福大學計算機科學系教授羅伯特.弗洛伊德(Robert W．Floyd）和威廉姆斯(J．Williams）在1964年共同發明了的一種排序演算法（ Heap Sort )；

        堆排序(Heapsort)是指利用堆積樹（堆）這種資料結構所設計的一種排序演算法，它是選擇排序的一種。可以利用陣列的特點快速定位指定索引的元素。堆分為大根堆和小根堆，是完全二叉樹。大根堆的要求是每個節點的值都不大於其父節點的值，即A[PARENT[i]] >= A[i]。在陣列的非降序排序中，需要使用的就是大根堆，因為根據大根堆的要求可知，最大的值一定在堆頂。

演算法分析

        其實這種演算法看起來挺複雜，但是如果真正理解了就會感覺非常簡單的；

        基本思想：把待排序的元素按照大小在二叉樹位置上排列，排序好的元素要滿足：父節點的元素要大於等於其子節點；這個過程叫做堆化過程，如果根節點存放的是最大的數，則叫做大根堆；如果是最小的數，自然就叫做小根堆了。根據這個特性（大根堆根最大，小根堆根最小），就可以把根節點拿出來，然後再堆化下，再把根節點拿出來，，，，迴圈到最後一個節點，就排序好了。

        基本步驟：

        其實整個排序主要核心就是堆化過程，堆化過程一般是用父節點和他的孩子節點進行比較，取最大的孩子節點和其進行交換；但是要注意這應該是個逆序的，先排序好子樹的順序，然後再一步步往上，到排序根節點上。然後又相反（因為根節點也可能是很小的）的，從根節點往子樹上排序。最後才能把所有元素排序好；具體的操作可以看程式碼，也可以看看下面的圖示：

實現程式碼

#include<stdio.h>
 
 #define LEN 12
 //列印陣列
 void print_array(int *array, int length)
 {
     int index = 0;
     printf("array:\n");
     for(; index < length; index++){
         printf(" %d,", *(array+index));
     }
     printf("\n\n");
 }
 //堆化函式
 void _heapSort(int *array, int i, int length)
 {
     int child, tmp;
     //這個是改變了哪個節點，就從該節點開始對以該節點為根節點的子樹進行排序
     for (; 2*i + 1 < length; i = child){//依次到它的子樹的子樹。。。。
         child = 2*i + 1;
         if ((child +1  < length) && (array[child+1] > array[child])) child++;//選個最大的孩子節點
         if (array[i] < array[child]){//最大子節點和父節點進行互動
             tmp = array[i];
             array[i] = array[child];
             array[child] = tmp;
         }else break;
     }   
 }
  
 void heapSort(int *array, int length)
 {
     int i, tmp;
 
     if (length <= 1) return;//如果元素小於1，則退出
     //這一步是先把元素都堆化好，後面的話 哪個節點修改過，就從哪個節點開始對以它為根節點的子樹進行堆化
     for (i = length/2 - 1; i >= 0; i--)  _heapSort(array, i, length);//從第一個非葉子節點開始排序，一直到根節點
     
     // 先抽取到根節點，然後再對元素進行堆化，然後又抽取根節點，再對元素進行堆化。。。。依次迴圈
     for (i = 0; i < length; i++ ){
         tmp = array[0];
         array[0] = array[length-i-1];
         array[length -i-1] = tmp;
         _heapSort(array, 0, length-1-i);//堆化子樹
     }
 }
 
 int main(void)
 {
     int array[LEN] = {2, 1, 4, 0, 12, 520, 2, 9, 5, 3, 13, 14};
     print_array(array, LEN);
     heapSort(array, LEN);
     print_array(array, LEN);
     return 0;
 }
 

執行結果：

時間複雜度

堆排序的時間複雜度，主要在初始化堆過程和每次選取最大數後重新建堆的過程；

          初始化建堆過程時間：O(n)

        推算過程：

        首先要理解怎麼計算這個堆化過程所消耗的時間，可以直接畫圖去理解；

        假設高度為k，則從倒數第二層右邊的節點開始，這一層的節點都要執行子節點比較然後交換（如果順序是對的就不用交換）；倒數第三層呢，則會選擇其子節點進行比較和交換，如果沒交換就可以不用再執行下去了。如果交換了，那麼又要選擇一支子樹進行比較和交換；

        那麼總的時間計算為：s = 2^( i - 1 )  *  ( k - i )；其中 i 表示第幾層，2^( i - 1) 表示該層上有多少個元素，( k - i) 表示子樹上要比較的次數，如果在最差的條件下，就是比較次數後還要交換；因為這個是常數，所以提出來後可以忽略；

        S = 2^(k-2) * 1 + 2^(k-3)*2.....+2*(k-2)+2^(0)*(k-1)  ===> 因為葉子層不用交換，所以i從 k-1 開始到 1；

        這個等式求解，我想高中已經會了：等式左右乘上2，然後和原來的等式相減，就變成了：

        S = 2^(k - 1) + 2^(k - 2) + 2^(k - 3) ..... + 2 - (k-1)

        除最後一項外，就是一個等比數列了，直接用求和公式：S = {  a1[ 1-  (q^n) ] }  / (1-q)；

        S = 2^k -k -1；又因為k為完全二叉樹的深度，所以 (2^k) <=  n < (2^k  -1 )，總之可以認為：k = logn （實際計算得到應該是 log(n+1) < k <= logn ）;

        綜上所述得到：S = n - longn -1，所以時間複雜度為：O(n)

        更改堆元素後重建堆時間：O(nlogn)

        推算過程：

       1、迴圈  n -1 次，每次都是從根節點往下迴圈查詢，所以每一次時間是 logn，總時間：logn(n-1) = nlogn  - logn ；

       綜上所述：堆排序的時間複雜度為：O(nlogn)

空間複雜度

         若有不正確之處，望大家指正，共同學習！謝謝！！！