給定n種物品和一揹包。物品i的重量是wi，其價值為vi，揹包的容量為C。問應如何選擇裝入揹包的物品，使得裝入揹包中物品的總價值最大?

0-1揹包問題是一個特殊的整數規劃問題。

設所給0-1揹包問題的子問題

的最優值為m(i，j)，即m(i，j)是揹包容量為j，可選擇物品為i，i+1，…，n時0-1揹包問題的最優值。由0-1揹包問題的最優子結構性質，可以建立計算m(i，j)的遞迴式如下。

演算法複雜度分析：

從m(i，j)的遞迴式容易看出，演算法需要O(nc)計算時間。當揹包容量c很大時，演算法需要的計算時間較多。例如，當c>2n時，演算法需要Ω(n2n)計算時間。

#define N 12
void Knapsack(int v[],int w[],int c,int n,int m[6][N])
{

 int i,j,jMax,k;
 jMax=(w[n]-1<c)?w[n]-1:c;
 for(i=0;i<=jMax;i++)
 {
  m[n][i]=0;
 }
 for(i=w[n];i<=c;i++)
 {
  m[n][i]=v[n];
 }

 for(i=n-1;i>1;i--)
 {
  jMax=(w[i]-1<c)?w[i]-1:c;
  for(j=0;j<=jMax;j++)
  {
   m[i][j]=m[i+1][j];
  }
  for(j=w[i];j<=c;j++)
  {
   k=j-w[i];
   if(m[i+1][j]<m[i+1][k]+v[i])
   m[i][j]=m[i+1][k]+v[i];
   else
   m[i][j]=m[i+1][j];
  }
 }
 m[1][c]=m[2][c];
 if(c>=w[1])
 {
  k=c-w[1];
  m[1][c]=(m[2][c]>m[2][k]+v[1])?m[2][c]:m[2][k]+v[1];
 }

}
void Traceback(int m[6][N],int w[],int c,int n,int x[])
{
 int i;
 for(i=1;i<n;i++)
 {
  if(m[i][c]==m[i+1][c])
   x[i]=0;
  else
  {
   x[i]=1;
   c-=w[i];
  }
 }
 x[n]=(m[n][c])?1:0;
}
main()
{
      int i,c=10,n=5,w[]={0,2,2,6,5,4},v[]={0,6,3,5,4,6};
      int m[6][N]={0};
      int x[6]={0};
      int j;
      Knapsack(v,w,c,n,m);
      for(i=1;i<=n;i++)
      {
      for(j=1;j<=c;j++)

 printf("%3d",m[i][j]);
 printf("/n");
       }
      Traceback(m,w,c,n,x);
      for(i=1;i<=n;i++)
      {
 if(x[i])
  printf("%4d:%4d",i,v[i]);
      }
      printf("/n");

}