估算法向量
法向量是三維點雲資料具有的一個很重要的區域性特性，在點雲的許多處理中是必不可少的資訊。
三維掃描獲取的初始取樣點集只記錄了各取樣點的空間三維座標，而不存在任何連線關係，求解法向量是處理點雲資料的第一步。
在三維軟體中求解取樣點的法向量，一般要求建立點雲資料對應的網路模型。某頂點的法向量求解是通過計算其鄰接所有面片法向量的平均值獲取。該方法需要首先完成輸入點雲的網格化操作，因而是一種全域性計算方法。由於目前可獲取的三維點集的資料量增長非常迅速，建立全域性網格幾乎是不可行的。並且，在很多應用中，網格生成也不是必須的，因此，需要通過區域性分析點雲屬性求解取樣點對應的法向量資訊。
估算法向量的方法主要有兩類：擬合法和Delaunay球法
一、擬合法步驟一般分為：識別鄰域點，計算法向量，判斷法向量方向。
在估算法向量中有幾種主要的方法：plane fitting ，quadric surface ，itting，triangle-based area weighted average，triangle-based angle weighted average。
1、平面擬合方法（plane fitting）【1，2】
協方差矩陣(Covariance Matrix)：通過對某點的K近鄰進行協方差分析，求解協方差矩陣，可以獲知該點所在區域性區域的表面變化，估計曲率大小。同時，也可以根據協方差矩陣求解的最小特徵值對應的特徵向量來估計該點的法向量朝向【1】。
文獻【2】中給出點雲的法線求解過程，主要分為三步：
第一步，給定一個K 值，計算點雲資料中所有點的K近鄰。
第二步，通過對各點鄰域的協方差分析，獲取最小特徵值對應的特徵向量，即為該點對應法向量的走向。此時具體的朝向還未能確定。在此該文並未給出具體如何求解的過程。
第三步，調整整個點雲的法向量朝向。法向量調整的基本原理：點雲資料具有稠密的取樣點，在近鄰求解正確的前提下，可以先確定一個初始點的正確朝向，然後調整其鄰域集中取樣點的法向量朝向。繼而通過各點的鄰域點不斷向外擴散，最終完成對整個點雲資料的法向量朝向的調整。
2、二次曲面擬合方法（quadric surface fitting）
   平面估算二次曲面擬合法【4】
離散點雲進行三角剖分,按照角度計算權因子來初步估計法矢。然後,採用最小二乘進行二次曲面擬合進行修正，因而相比較方法1、2來說精度較高。
3、（triangle-based area weighted average）
4、（triangle-based angle weighted averag）
5、二次曲線擬合法（quadric curve fitting）【3】
通過建立某點的區域性voronoi網格確定其近鄰點，對該點及其近鄰點以二次曲線擬合，求得切向量，對平均切向量求該點法向量。該方法對噪聲點敏感。
文獻【3】對前5種方法進行了比較。


二、Delaunay球法【5，6，7】
文獻【5】先進行MAT(中軸變換)，對點雲求Voronoi圖，以Voronoi圖中的網格頂點為圓心（球心）繪製Polar Balls（極球），以極球半徑為權值，求加權Voronoi圖，得出點雲的內外輪廓，再分段線性近似曲面重構。該演算法不能處理含噪點雲。
文獻【6】在文獻【4】的基礎上，利用點雲邊界上Delaunay球半徑大小差異明顯的現象，以小Delaunay球的外邊界作為重構的曲面，該演算法可以處理含噪點雲。
文獻【7】的主要工作是如何決定小Delaunay球。
附：
在經過大量的文獻資料查詢中，發現Mark Pauly在文獻【1】中提到的協方差分析(Covariance Analysis)並不是通常意義上的協方差分析(Analysis of Covariance)，而文獻【2】中只是將之直譯過來。我就說怎麼看不明白捏。
1、什麼是協方差分析(Analysis of Covariance)【8】
　
協方差分析是將回歸分析與方差分析結合起來使用的一種分析方法。在這種分析中，先將定量的影響因素(即難以控制的因素)看作自變數，或稱為協變數(Covariate)，建立因變數隨自變數變化的迴歸方程,這樣就可以利用迴歸方程把因變數的變化中受不易控制的定量因素的影響扣除掉，從而,能夠較合理地比較定性的影響因素處在不同水平下，經過迴歸分析手段修正以後的因變數的總體均數之間是否有顯著性的差別，這就是協方差分析僅問題的基本思想。
只有１個定量的自變數時稱為一元協方差分析、含有２個及２個以上定量的自變數時稱為多元協方差分析。
2、協方差與協方差矩陣
協方差是統計學上表示兩個隨機變數之間的相關性,即E[(X-E(X))*(Y-E(Y))]。
在統計學與概率論中, 協方差矩陣是一個矩陣,表現的是隨機變數各個元素分量之間的相互關係。
看了有關協方差矩陣的內容，覺得奇怪為什麼Mark Pauly要用協方差矩陣來求解曲面的區域性法向量，協方差表示兩個隨機變數之間的相關性，協方差矩陣表現隨機變數各個元素分量之間的相互關係，而在Mark Pauly的方法中的三個隨機變數是什麼呢？看起來應該是XYZ三個座標標量。
有關內容待調查後再來更新。
經過曠日持久的調查和不斷的數學複習，終於搞明白了,事情經過是這樣滴==+：
1、老外Hooper在他的論文裡首次提到那個矩陣，稱之為covariance matrix，symmetric 3*3 positive semi-definite matrix，其實更準確的術語應該是與黎曼幾何有關的covariant matrix。
2、老外Mark Pauly在他的博士論文、眾多paper、siggraph年會上的報告裡都引用了該矩陣，並且用展開形式來表述，但他非但沒有指出與黎曼幾何有關的這個矩陣叫covariant matrix，反而給該方法加了名詞covariance analysis。
3、國內有些人專門是看了最新的國外文獻，然後就直接翻譯過來發paper的，因此就把老外Hooper和Mark Pauly的covariance matrix翻譯成協方差矩陣，把Mark Pauly的covariance analysis翻譯成協方差分析。實際上真正的協方差矩陣和協方差分析和這些根本是風牛馬不及。
參考文獻
【1】Mark Pauly，Point Primitives for Interactive Modeling and Processing of 3D Geometry,for the Degree of Doctor of Sciences,Federal Institute of Technology(ETH) of Zurich,2003
【2】孟放,大型三維點雲資料的互動繪製研究,博士研究生學位論文,北京大學，2005
【3】Daoshan OuYang,Hsi-Yung Feng,On the normal vector estimation for point cloud data from smooth surfaces,Computer-Aided Design 37 (2005) 1071–1079
【4】黃宇婷，點雲模型的法矢和曲率的精確計算方法，機械設計與製造，2005年 06期 
【5】Tamal K. Dey and Jian Sun,Normal and Feature Approximations from Noisy Point Clouds
【6】Tamal K. Dey，Samrat Goswami，Provable Surface Reconstruction from Noisy Samples ??
【7】Nina Amenta,Sunghee Choi,Ravi Krishna Kolluri,The Power Crust

【8】胡良平、童中彪、劉惠剛、李子建,醫學論文中統計分析錯誤辨析與釋疑(12)--定量資料統計分析方法的合理選擇,中華醫學雜誌,2004 Vol.84 No.12 P.1046-1048點雲模型的局部曲面幾何資訊的提取

                            

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