例題：
在一個凸n邊形中，通過不相交於n邊形內部的對角線，把n邊形拆分成若干三角形，問有多少種拆分方案。

啊啊啊啊
卡特蘭數
卡特蘭數又稱卡塔蘭數，卡特蘭數是組合數學中一個常出現在各種計數問題中的數列。以比利時的數學家歐仁·查理·卡塔蘭 (1814–1894)的名字來命名。

原理
令h(0)=1,h(1)=1，catalan數滿足遞推式：
h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + … + h(n-1)*h(0) (n>=2)
例如：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2
h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5
另類遞推式 ：
h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);
遞推關係的解為：
h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,…)
遞推關係的另類解為：
h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1)(n=0,1,2,…)

分析
如果純粹從f（4）=2，f（5）=5，f（6）=14，……，f（n）=n慢慢去歸納，恐怕很難找到問題的遞推式，我們必須從一般情況出發去找規律。
因為凸多邊形的任意一條邊必定屬於某一個三角形，所以我們以某一條邊為基準，以這條邊的兩個頂點為起點P1和終點Pn（P即Point），將該凸多邊形的頂點依序標記為P1、P2、……、Pn，再在該凸多邊形中找任意一個不屬於這兩個點的頂點Pk（2<=k<=n-1），來構成一個三角形，用這個三角形把一個凸多邊形劃分成兩個凸多邊形，其中一個凸多邊形，是由P1，P2，……，Pk構成的凸k邊形（頂點數即是邊數），另一個凸多邊形，是由Pk，Pk+1，……，Pn構成的凸n-k+1邊形。
此時，我們若把Pk視為確定一點，那麼根據乘法原理，f（n）的問題就等價於——凸k多邊形的劃分方案數乘以凸n-k+1多邊形的劃分方案數，即選擇Pk這個頂點的f（n）=f（k）×f（n-k+1）。而k可以選2到n-1，所以再根據加法原理，將k取不同值的劃分方案相加，得到的總方案數為：f（n）=f（2）f（n-2+1）+f（3）f（n-3+1）+……+f（n-1）f（2）。看到此處，再看看卡特蘭數的遞推式，答案不言而喻，即為f（n）=h（n-2） （n=2，3，4，……）。
最後，令f（2）=1，f（3）=1。

此處f（2）=1和f（3）=1的具體緣由須參考詳盡的“卡特蘭數”，也許可從凸四邊形f（4）=f（2）f（3）+ f（3）f（2）=2×f（2）f（3）倒推，四邊形的劃分方案不用規律推導都可以知道是2，那麼2×f（2）f（3）=2，則f（2）f（3）=1，又f（2）和f（3）若存在的話一定是整數，則f（2）=1，f（3）=1。（因為我沒研究過卡特蘭數的由來，此處僅作劉摶羽的臆測）
未完成。。。。。。