問題參考：   

       現有一張地圖，各結點代表城市，兩結點間連線代表道路，線上數字表示城市間的距離。如圖1所示，試找出從結點A到結點E的最短距離。

我們可以用深度優先搜尋法來解決此問題，該問題的遞迴式為

其中是與v相鄰的節點的集合，w(v,u)表示從v到u的邊的長度。

這個程式的效率如何呢？我們可以看到，每次除了已經訪問過的城市外，其他城市都要訪問，所以時間複雜度為O(n!)，這是一個“指數級”的演算法。

首先，我們來觀察一下這個演算法。在求從B1到E的最短距離的時候，先求出從C2到E的最短距離；而在求從B2到E的最短距離的時候，又求了一遍從C2到E的最短距離。也就是說，從C2到E的最短距離我們求了兩遍。同樣可以發現，在求從C1、C2到E的最短距離的過程中，從D1到E的最短距離也被求了兩遍。而在整個程式中，從D1到E的最短距離被求了四遍。如果在求解的過程中，同時將求得的最短距離"記錄在案"，隨時呼叫，就可以避免這種情況。於是，可以改進該演算法，將每次求出的從v到E的最短距離記錄下來，在演算法中遞迴地求MinDistance(v)時先檢查以前是否已經求過了MinDistance(v)，如果求過了則不用重新求一遍，只要查詢以前的記錄就可以了。這樣，由於所有的點有n個，因此不同的狀態數目有n個，該演算法的數量級為O(n)。

更進一步，可以將這種遞迴改為遞推，這樣可以減少遞迴呼叫的開銷。

程式碼如下：

#include <iostream>
#include <fstream>
using namespace std;

ifstream fin("in.txt");
#define maxLength 20

int matrix[maxLength][maxLength];   //有向圖的鄰接表
int minPath[maxLength];             //儲存這每個節點到終點的最短路徑
int trace[maxLength];               //記錄下最短線路
int v_n; //節點個數

int MinDistance(int v)
{
	if(minPath[v]>0) return minPath[v]; 
	if(v==v_n-1) return 0;     //邊界值
	int min=1000,t,j;
	for(int i=v+1;i<v_n;i++)
	{
		if(matrix[v][i]>0) 
		{	
			t = matrix[v][i]+MinDistance(i);
			if(min>t){ min=t; j=i;}
		}
	}
	minPath[v]=min;
	trace[v]=j;
	return minPath[v];
}

int main()
{
	
	fin>>v_n;
	for(int i=0;i<v_n;i++)
	{
		for(int j=0;j<v_n;j++)
		{
			fin>>matrix[i][j];
			cout<<matrix[i][j]<<"-";
		}
		cout<<endl;
	}
	memset(minPath,0,sizeof(int)*maxLength);
	memset(trace,0,sizeof(int)*maxLength);
	int minD = MinDistance(0);
	cout<<"最短路徑："<<minD<<endl;
	i=0;
	cout<<"1-->";
	while(minD>0)
	{
		cout<<trace[i]+1<<"-->";
		minD = minD-matrix[i][trace[i]];
		i = trace[i];
	}
	cout<<endl;
	return 0;
}
 

   輸入檔案：in.txt 

（例子來源於《演算法設計與分析》（夏紅霞 主編）教材147頁例題）

12
0 9 7 3 2 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 4 2 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 2 7 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 11 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 11 8 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 6 5 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 5 3 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 6 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

輸出檔案：

0-9-7-3-2-0-0-0-0-0-0-0-
0-0-0-0-0-4-2-1-0-0-0-0-
0-0-0-0-0-2-7-0-0-0-0-0-
0-0-0-0-0-0-0-11-0-0-0-0-
0-0-0-0-0-0-11-8-0-0-0-0-
0-0-0-0-0-0-0-0-6-5-0-0-
0-0-0-0-0-0-0-0-5-3-0-0-
0-0-0-0-0-0-0-0-0-5-6-0-
0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-4-
0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-2-
0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-5-
0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-
最短路徑：16
1-->2-->7-->10-->12-->
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