資料結構-----紅黑樹的插入操作
阿新 • • 發佈：2019-01-29
紅黑樹是一棵二叉搜尋樹；樹種每一個節點的顏色不是黑色就是紅色。本篇中只實現用節點的顏色來描述紅黑樹，性質如下：
RB1：根節點和所有外部節點都是黑色；
RB2：在根至外部節點路徑上，沒有連續兩個節點是紅色；
RB3：在所有根至外部節點的路徑上，黑色節點的數目都相同；
實現紅黑樹，首先需要定義樹節點，節點包括：
1：節點顏色，黑色或者白色，用整型或者布林型別表示，也可以預設兩個巨集；
2：節點權值，用來儲存節點的資料；
3：左右子樹指標；
首先是紅黑樹的定義，本例中紅黑樹繼承自BST（二叉搜尋樹），即：
#define BLACK 1 #define RED 0 template<class T> class RBTree : public binarySearchTree<T, int> { public: RBTree() : binarySearchTree() {} ~RBTree() {} void insert(const T& key) {insert(root, key);} void remove(const T& key) {remove(root, key);} private: binaryTreeNode<pair<const T, int>>* insert(binaryTreeNode<pair<const T, int>>*&, const T&); binaryTreeNode<pair<const T, int>>* remove(binaryTreeNode<pair<const T, int>>*&, const T&); binaryTreeNode<pair<const T, int>>* maximun(binaryTreeNode<pair<const T, int>>*); binaryTreeNode<pair<const T, int>>* minimun(binaryTreeNode<pair<const T, int>>*); int color(binaryTreeNode<pair<const T, int>>*); }
和AVL樹類似，插入刪除操作也是利用遞迴實現，所以在私有成員中存在實現遞迴呼叫的過載函式。
模板引數T為節點權值的型別，int為顏色型別。
insert插入函式：在以該節點為根節點的子樹中插入新權值，返回插入後該子樹的根節點。
remove刪除操作：在以該節點為根節點的子樹中刪除特定權值的節點，返回刪除後子樹的根節點。
maximun函式：返回以該節點為根節點的子樹中權值最大的節點。
minimun函式：返回以該節點為根節點的子樹中權值最小的節點。
color函式：返回函式的顏色。
template<class T> int RBTree<T>::color(binaryTreeNode<pair<const T,int>>* pnode) { if(pnode == NULL) return BLACK; return pnode->element.second; }
插入操作步驟如下：
步驟1：找到待插入的位置，即逐個比較權值，若該節點權值小於待插入權值，則在右子樹中插入；若該節點權值大於待插入權值，則在左子樹中插入。
步驟2：申請新節點，若樹為空，則新節點為黑色；若樹非空，則新節點為紅色。
步驟3：改變相關節點的顏色，調整樹平衡。
申請新節點的程式碼如下：
template<class T> binaryTreeNode<pair<const T, int>>* RBTree<T>::insert(binaryTreeNode<pair<const T, int>>* &pnode, const T& key) { if(pnode == NULL) { if(root == NULL) pnode = new binaryTreeNode<pair<const T, int>>* (pair<const T, int>(key, BLACK)); else pnode = new binaryTreeNode<pair<const T, int>>* (pair<const T, int>(key, RED)); } /*...*/ }
接下來就是執行比較插入的過程，涉及到對節點顏色進行修改的內容，我們先了解一下需要哪些調整。
插入操作的樹平衡被破壞無非是存在兩個連續的紅色節點，違反了RB2。
同時，若違反RB2，則新插入節點和其父節點都應為紅色，那麼祖父節點必須為黑色（因為插入之前是平衡的）。
被破壞的情況有以下幾種，假設子樹的根節點為pnode，插入的節點為ptNode：
第一種情況：pnode的左孩子和右孩子都為紅色，新節點是pnode孩子的孩子。
插入節點為pnode->leftChild->leftChild或pnode->leftChild->rightChild
color(pnode->leftChild) == RED && color(pnode->rightChild) == RED 或者
插入節點為pnode->rightChild->leftChild或pnode->rightChild->rightChild
color(pnode->rightChild) == RED && color(pnode->leftChild) == RED
1：將根節點的左右子樹的顏色塗上黑色；
2：若pnode不是整個紅黑樹的根節點，則將pnode塗上紅色
3：返回pnode；
程式碼實現：
template<class T>
binaryTreeNode<pair<const T,int>>*
RBTree<T>::rModify(binaryTreeNode<pair<const T, int>>* pnode)
{
pnode->leftChild->element.second = BLACK;
pnode->rightChild->element.second = BLACK;
if(pnode != root)
pnode->element.second = RED;
return pnode;
}第二種情況：pnode的左孩子為紅色，右孩子為黑色（也可以是外部節點），新節點是pnode左孩子的孩子。
插入節點為pnode->leftChild->leftChild或pnode->leftChild->rightChild
color(pnode->leftChild) == RED && color(pnode->rightChild) == BLACK 1：若插入的是pnode左孩子的左孩子，則進行右旋操作；若插入的是pnode左孩子的右孩子，則進行先左旋後右旋操作；此時pnode為新根節點。
2：將新的根節點塗黑，將新根節點右孩子塗紅。
3：返回根節點。
程式碼實現：
template<class T>
binaryTreeNode<pair<const T,int>>*
RBTree<T>::LbModify(binaryTreeNode<pair<const T, int>>* pnode)
{
pnode->element.second = BLACK;
pnode->rightChild->element.second = RED;
return pnode;
}if(color(pnode->rightChild) == BLACK && color(pnode->leftChild) == RED)
{
if(key > pnode->leftChild->element.first)
pnode = leftRightRotation(pnode);
else
pnode = rightRotation(pnode);
pnode = LbModify(pnode);
}第三種情況：pnode的右孩子為紅色，左孩子為黑色，新節點為pnode右孩子的孩子。
插入節點為pnode->rightChild->leftChild或pnode->rightChild->rightChild
color(pnode->rightChild) == RED && color(pnode->leftChild) == BLACK 解決方案：
1：若新節點是pnode右孩子的右孩子，進行左旋操作；若新節點是pnode右孩子的左孩子，進行先右旋後左旋操作，此時pnode為新的根節點。
2：將新的根節點塗黑，新根節點的左孩子塗紅。
3：返回新根節點。
程式碼實現：
template<class T>
binaryTreeNode<pair<const T,int>>*
RBTree<T>::RbModify(binaryTreeNode<pair<const T, int>>* pnode)
{
pnode->element.second = BLACK;
pnode->leftChild->element.second = RED;
return pnode;
}if(color(pnode->leftChild) == BLACK && color(pnode->rightChild) == RED)
{
if(key > pnode->rightChild->element.first)
pnode = leftRotation(pnode);
else
pnode = rightLeftRotation(pnode);
pnode = RbModify(pnode);
}插入函式程式碼：
template<class T>
binaryTreeNode<pair<const T, int>>*
RBTree<T>::insert(binaryTreeNode<pair<const T, int>>* &pnode, const T& key)
{
if(pnode == NULL) //申請新節點，空則為黑色，非空則為紅色。
{
if(root == NULL)
pnode = new binaryTreeNode<pair<const T, int>>*
(pair<const T, int>(key, BLACK));
else
pnode = new binaryTreeNode<pair<const T, int>>*
(pair<const T, int>(key, RED));
}
else
{
if(key < pnode->element.first)
{
//如果key小，則在左子樹中插入
pnode->leftChild = insert(pnode->leftChild, key);
//左子樹中插入後，若左孩子的孩子是紅色，則需要進一步判斷。
if(pnode->leftChild->leftChild != NULL && color(pnode->leftChild->leftChild) == RED)||
(pnode->leftChild->rightChild != NULL && color(pnode->leftChild->rightChild) == RED)
{
//若左孩子是紅色，則需要調整
if(color(pnode->leftChild) == RED)
{
if(color(pnode->rightChild) == RED) //若右孩子是黑色，為第一種情況
pnode = rModify(pnode);
else //否則，為第二種或者第三種
{
if(key > pnode->leftChild->element.first)
pnode = leftRightRotation(pnode);
else
pnode = rightRotation(pnode);
pnode = LbModify(pnode);
}
}
}
}
//與上述對稱
else if(key > pnode->element.first)
{
pnode->rightChild = insert(pnode->rightChild, key);
if(pnode->rightChild->leftChild != NULL && color(pnode->rightChild->leftChild) == RED) ||
(pnode->rightChild->rightChild != NULL && color(pnode->rightChild->rightChild) == RED)
{
if(color(pnode->rightChild) == RED)
{
if(color(pnode->leftChild) == RED)
pnode = rModify(pnode);
else
{
if(key > pnode->rightChild->element.first)
pnode = leftRotation(pnode);
else
pnode = rightLeftRotation(pnode);
pnode = RbModify(pnode);
}
}
}
}
}
return pnode;
}