目錄

1. LIS(N^2)
2. LIS(N logN)
3. LCS(N^2)
4. LCS(N logN）

因為學習LCS和LIS已經有一段時間了，當時的程式碼和檔案都丟的差不多了，下面的模板和程式碼都是全新手打，難免有一些小錯誤。有時間再改進吧。

LIS —— O(N^2)演算法，簡單的取每個數和前面的數進行比對，例如加入6，和前面逐一比較，並取前面小於 6 的數的下標最大值，它的下標就代表了序列到6為止LIS的長度。

        3 2 4 1 5 6 2 1 
step 1: 1 
step 2: 1 1
step 3: 1 1 2
step 4: 1 1 2 1
step 5: 1 1
 
 2 1 3 
step 6: 1 1 2 1 3 4 
step 7: 1 1 2 1 3 4 2
step 8: 1 1 2 1 3 4 2 1

程式碼：
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    for( int i=1; i<=n; i++ )
        {
            dp[i] = 1;
            for( int j=1; j<=n; j++ )
            {
                if( ap[i] < ap[j] && dp[i] < dp[j]+1
 
 )
                dp[i] = dp[j]+1;
            }
        }

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LIS —— O(NlogN)演算法：（用dp陣列模擬棧）。
逐一把序列的元素加入dp陣列，如果比前一個（棧頂）元素大，就直接加入（變成棧頂元素），如果比前一個（棧頂）元素小，就在dp陣列中二分取【大於自身的最小元素並替換】，最後棧的長度，即為LIS的長度。但是棧內元素並不是LIS。


        3 2 4 1 5 6 2 1
step 1: 3 
step
 
 2: 2
step 3: 2 4
step 4: 1 4
step 5: 1 4 5 
step 6: 1 4 5 6
step 7: 1 2 5 6
step 8: 1 1 5 6

最後用 統計棧內元素個數，即為LIS的長度。


程式碼：
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        int top = 0;
        for( int i=1; i<=n; i++ )
        {
            if( ap[i] > dp[top] ){ // 如果大於 "模擬棧" 的棧頂元素直接 入棧 長度加 1  
                top++;
                dp[top] = ap[i];
                continue; 
            }
            int m = ap[i];
            // lower_bound 前閉後開 返回不小於 m 的最小值的位置 
            pos = lower_bound(dp,dp+top,m)-dp; // 注意減去dp 
            if( dp[pos] > ap[i])
            dp[pos] = ap[i];
        }
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LCS —— O(N^2)演算法
    此處引用一下：
    1.如果xm = yn，那麼zk = xm = yn而且Z(k-1)是X(m-1)和Y(n-1)的一個LCS；
    2.如果xm != yn，那麼zk != xm蘊含Z是X(m-1)和Y的一個LCS；
    3.如果xm != yn，那麼zk != yn蘊含Z是X和Y(n-1)的一個LCS。
    注：上面的Z(k-1)表示序列Z<z1,z2...zn>,其中n=k-1。其它的X()和Y()也是一樣的。

程式碼：
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    scanf("%s%s",ac,bc);
        l1 = strlen(ac);
        l2 = strlen(bc);
        for( int i=1; i<=l1; i++ )
            for( int j=1; j<=l2; j++ )
            {
                if( ac[i-1] == bc[j-1] ){
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1;
                }else{
                    dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
                }

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LCS —— O(NlogN）演算法
    總的來說，就是把LCS轉化成LIS，然後用LIS的NlogN演算法來求解。
    實現如下：（引用）
    假設有兩個序列 s1[ 1~6 ] = { a, b, c , a, d, c }, s2[ 1~7 ] = { c, a, b, e, d, a, b }。
    記錄s1中每個元素在s2中出現的位置, 再將位置按降序排列, 則上面的例子可表示為：
      loc( a）= { 6, 2 }, loc( b ) = { 7, 3 }, loc( c ) = { 1 }, loc( d ) = { 5 }。
    將s1中每個元素的位置按s1中元素的順序排列成一個序列s3 = { 6, 2, 7, 3, 1, 6, 2, 5, 1 }。
    在對s3求LIS得到的值即為求LCS的答案。