拓撲排序

一、基本概念

在一個有向無環圖(Directed Acyclic Graph, DAG)中，規定< u,v > 表示一條由u指向v的的有向邊。要求對所有的節點排序，使得每一條有向邊 < u,v>中u都排在v的前面。

換個形象點的解釋，我們在學習一門課程之前，應該需要一定的預備知識，比如在學習B課程之前我們需先學習A（後用< X,Y > 表示X課程是Y課程的預備知識，其實與上述有序偶的含義相同），則有 < A,B >。我們還有 < C,B >, < B,D >, < E,D >, < D,F >, < D,G >, < H,G >. 現在要求你合理安排A-H這些課程的學習順序。這個任務的要求實際上就是對A-H進行拓撲排序。

為何要求這個圖是DAG呢？不難想象，如果上面的課程變成 < A,B >, < B,C >, < C,D > …… < H,A >. （即A-H成有向環）那麼我們就無法判斷出先學哪個課程了。

二、演算法實現

以上面給課程排序為例，我們首先要學的，一定是一個不需要任何預備知識的課程，然後學完這個課程之後，根據邊的關係再看有哪些新的課程可以學習，同時我們還要清楚，學完一門課程後，就不需要再次學習這一門課程了。

我們將其與圖做個類比。
不需要預備知識的課程-> 入度為0的點
新的課程->所指向的下一個點
每門課之學一次->從圖中刪除節點 && 從圖中刪除有向邊

接著再根據圖類比結果決定儲存的資料
入度為0的點->需要儲存每個節點的入度
所指向的下一個點->需要存每個節點的後繼
刪除節點與有向邊-> 這裡討論一下：
如果我們真的刪除了節點和有向邊，那就意味著無法在找到這些資料了。因為我們還需要判斷是否形成了DAG，最保險的做法是將下一個節點的入度-1。如果發現某個節點的入度為-1了，表明存在有向環，那麼說明不存在與拓撲排序。

根據儲存的資料選擇資料結構(具體情況具體分析，靈活變通)
節點入度->陣列
節點後繼->vector

三、例題講解

UVA.10305 Ordering Tasks
有n個點，m條邊，給n個頂點做拓撲排序。

#include <iostream>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <sstream>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <stack>
#include <cmath>
#define nmax 200
#define MEM(x) memset(x,0,sizeof(x))
using namespace std;
vector<int> v[nmax];
int indegree[nmax];
int n;
bool suc = true;
queue<int> ans;
void topsort()
{
    queue<int> q;
    while(1){
        for(int i = 1; i<=n ;++i){
            if(indegree[i] == 0){
                q.push(i);
                ans.push(i);
                indegree[i] = -1;
            }
        }
        if(q.empty()) break;
        while(!q.empty()){
            int t = q.front(); q.pop();
            for(int j = 0;j<v[t].size();++j){
                int tt = v[t][j];
                if(indegree[tt] == -1){
                    suc = false;
                    break;
                }else indegree[tt]--;
            }
            v[t].clear();
            if(!suc) break;
        }
        if(!suc) break;
    }
    if(ans.size() <n){
        suc =false;
        return;
    }
}
void output()
{
    bool isfirst = true;
    while(!ans.empty()){
        int t = ans.front(); ans.pop();
        if(isfirst){
            printf("%d",t);
            isfirst = false;
        }else
            printf(" %d",t);
    }
    printf("\n");
}
int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    int m;
    while(scanf("%d%d",&n,&m) ==2 && (n||m)){
        MEM(indegree);
        suc = true;
        int a,b;
        for(int i = 0; i<m; ++i){
            scanf("%d%d",&a,&b);
            indegree[b]++;
            v[a].push_back(b);
        }
        topsort();
        if(suc) output();
        else printf("failed\n");
    }
    return 0;
}

基本方法是，indegree表示入度表，vector存後繼節點。在topsort函式中，製造一個輔助佇列，首先從入度表中找到入度為0的點作起點，並且置入度為-1。接著依次處理佇列中的節點，首先根據他們的後繼，將其後繼節點的入度依次減1，若其後繼節點中的入度存在-1的，說明成環，則不存在拓撲排序。緊接著再從入度表中找到入度為0的節點，加入到佇列中，直到佇列空。當退出while迴圈的時候，需要檢查ans答案佇列中是否已經有全部的節點，若其數量為n，則表明存在拓補排序，否則不存在。

當然本題滿足存在topsort。下面給出三組例子，可以檢驗一下自己程式的健壯性。

Graph1
不存在拓撲排序，節點2，3，4成環

4 5
1 3
1 2
2 3
3 4
4 2

Graph2
不存在拓撲排序，節點1，2，3成環

5 6
5 1
1 2
2 3
3 1
1 4
4 3

Graph3
存在拓撲排序

13 14
1 2
1 6
1 7
3 1
3 4
4 6
6 5
8 7
9 8
7 10
10 11
10 12
10 13
12 13