資料結構之樹狀陣列
樹狀陣列(binary indexed tree)，是一種設計新穎的陣列結構，它能夠高效地獲取陣列中連續n個數的和。概括說，樹狀陣列通常用於解決以下問題：陣列{a}中的元素可能不斷地被修改，怎樣才能快速地獲取連續幾個數的和？
2、樹狀陣列基本操作
傳統陣列(共n個元素)的元素修改和連續元素求和的複雜度分別為O(1)和O(n)。樹狀陣列通過將線性結構轉換成偽樹狀結構（線性結構只能逐個掃描元素，而樹狀結構可以實現跳躍式掃描），使得修改和求和複雜度均為O(lgn)，大大提高了整體效率。
給定序列（數列）A，我們設一個數組C滿足
C[i] = A[i–2^k+ 1] + … + A[i]
其中，k為i在二進位制下末尾0的個數，i從1開始算！
則我們稱C為樹狀陣列。
下面的問題是，給定i，如何求2^k?
答案很簡單：2^k=i&(i^(i-1)) ，也就是i&(-i)
下面進行解釋：
以i=6為例（注意：a_x表示數字a是x進製表示形式）：
(i)_10 = (0110)_2
(i-1)_10=(0101)_2
i xor (i-1) =(0011)_2
i and (i xor (i-1)) =(0010)_2
2^k = 2
C[6] = C[6-2+1]+…+A[6]=A[5]+A[6]
陣列C的具體含義如下圖所示：
當我們修改A[i]的值時，可以從C[i]往根節點一路上溯，調整這條路上的所有C[]即可，這個操作的複雜度在最壞情況下就是樹的高度即O(logn)。另外，對於求數列的前n項和，只需找到n以前的所有最大子樹，把其根節點的C加起來即可。不難發現，這些子樹的數目是n在二進位制時1的個數，或者說是把n展開成2的冪方和時的項數,因此，求和操作的複雜度也是O(logn)。
樹狀陣列能快速求任意區間的和：A[i] + A[i+1] + … + A[j]，設sum(k) = A[1]+A[2]+…+A[k]，則A[i] + A[i+1] + … + A[j] = sum(j)-sum(i-1)。
下面給出樹狀陣列的C語言實現：
//求2^k intlowbit(intt) { returnt & ( t ^ ( t - 1 ) ); } //求前n項和 intsum(intend) { intsum = 0; while(end > 0) { sum += in[end]; end -= lowbit(end); } returnsum; } //增加某個元素的大小 voidplus(intpos, intnum) { while(pos <= n) { in[pos] += num; pos += lowbit(pos); } }
3、擴充套件——二維樹狀陣列
一維樹狀陣列很容易擴充套件到二維，二維樹狀陣列如下所示：
C[x][y] = sum(A[i][j])
其中，x-lowbit[x]+1 <= i<=x且y-lowbit[y]+1 <= j <=y
4、應用
（1） 一維樹狀陣列：
（2） 二維樹狀陣列：
一個由數字構成的大矩陣，能進行兩種操作
1) 對矩陣裡的某個數加上一個整數（可正可負）
2) 查詢某個子矩陣裡所有數字的和
要求對每次查詢，輸出結果
5、總結
樹狀陣列最初是在設計壓縮演算法時發現的（見參考資料1），現在也會經常用語維護子序列和。它與線段樹（具體見：資料結構之線段樹）比較在思想上類似，比線段樹節省空間且程式設計複雜度低，但使用範圍比線段樹小（如查詢每個區間最小值問題）。
6、參考資料
（1） Binary Indexed Trees：
（2） 吳豪文章《樹狀陣列》：
（3） 郭煒文章《線段樹和樹狀陣列》：
---------------------------------------------------------------------------------------------- 更多關於資料結構和演算法的介紹，請檢視：資料結構與演算法彙總 ----------------------------------------------------------------------------------------------
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