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題意簡述：（來自洛谷）

有n個城市坐落在一條數軸上，第ii個城市位於位置ai?．

城市之間有m輛卡車穿行．每輛卡車有四個參數：si?為起點編號，fi?為終點編號，ci?表示每行駛1個單位長度需要消耗的油量，ri?表示可以在路途中加油的次數．

當卡車到達一個城市的時候可以將油加滿（當然也可以不加），在路中無法加油，但是路途中總加油次數不能超過ri?．

所有卡車的油箱都是一樣大的，我們稱它的容積為V．試求一個最小的V，使得對於所有的卡車都存在一種方案，在路途中任意時刻油箱內的油量大於等於0且路途中總加油次數小於等於ri?的情況下從起點城市到達終點城市．

n,m(n≤400,m≤250000)表示城市數量與卡車數量。

思路：

　　此題學習了洛谷的博客，但洛谷的博客有地方是錯誤的，導致自閉了許久，自己證明了一波，才走出自閉。

　　洛谷題解 點這裏 但是洛谷題解有錯，並且最重要的單調性沒有證明。

　　首先，主體是一個區間DP

　　設 dp{i,j,k}? 為：從第 i 個城市到第 j 個城市分成 k 段，這 k 段中長度最大的一段的最小值

　　邊界： dp{i,j,0}=aj-ai(1≤i≤j≤n)。

　　狀態轉移方程

　　dp {i,j,k}=dp{i,j,k}?=min（? (max(dp{i,w,k?1}?,aj??aw?))(0<k≤n)）( i <= w <= j )

　　目標：max?(ci*?dp{si?,fi?,ri?}?) i<=m

以上均取自洛谷，並且洛谷的狀態轉移方程還寫錯了。上面這個區間dp的時間復雜度是O（n⁴）的，顯然會超時，要進行優化，洛谷題解中說單調性是顯然得出的，，然而我證明了好久。

先說兩個結果：

　　1）當 k,i 確定， j 在不斷向右移時，對每個 j 取到的 w 具有單調性。

　　2）同時，當 j 確定時，不同的 w 對應的取值呈“先減後增” 的趨勢，

　　我們先證明第二點，當i j k 確定時，轉移方程中 我們設dp{i,w,k?1}?為 Aw，aj??aw? 為Bw，當w變大時，Aw可能變大，Bw必定變小，所以取值一開始肯定是取Bw的，慢慢變的有可能取Aw，可以想象，這個dp方程一開始肯定是w越大越好，但是當某一個臨界點，如果比前面大了，那我們會發現，此時的最大值必定不是Bw，因為Bw<B(w-1)，這是必定的。所以最大值是Aw，而w越大，Aw則可能變大，但絕不變小，所以不會有變小的趨勢了，證畢。

　　然後證明第一點，假設j‘=j+1，我們先看w是否會前移。發現j變成j‘後，只有Bw會變大，Aw是不變的，而越往後的項，最大值取Aw的可能性越大，所以前面的項只會變大，就算當前項變大了，那變大的程度也會和前面的一樣，所以取最小值的話當前w必定由於小於w的值。

　　那麽看w是否會後移，由於Bw會變大，Aw只是可能變大，後面的項比前面的項更有可能用到Aw，所以後面的項可能更優，w可能後移，有單調性，證畢。

　　註意不要開數組不要long long，會爆內存，也不要開太大，開了410*410*410會mle。

#include<bits/stdc++.h>
#define clr(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
typedef long long ll; 
const int maxn=402;
ll ans;
int dp[maxn][maxn][maxn],a[maxn];
int n,m;
int main(){
    while(cin>>n>>m)
    {
        ans=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d",&a[i]);
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=i;j<=n;j++)
            {
                dp[i][j][0]=a[j]-a[i];
            }
        }
        for(int k=1;k<=n;k++)
        {
            for(int i=1;i<=n;i++)
            {
                int w=i;
                for(int j=i;j<=n;j++)
                {
                    while(w<j&&max(dp[i][w][k-1],a[j]-a[w])>max(dp[i][w+1][k-1],a[j]-a[w+1]))w++;
                    dp[i][j][k]=max(dp[i][w][k-1],a[j]-a[w]);
                }
            }
        }
        int s,f,r;
        ll c;
        while(m--)
        {
            scanf("%d%d%lld%d",&s,&f,&c,&r);
            ans=max(ans,dp[s][f][r]*c);
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
} 

codeforces 1101F Trucks and Cities 區間dp+單調優化 好題